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m'étendre, mais, en un mot, vous avez trouvé les deux partis (*) des dés et des parties dans la parfaite justesse : j'en suis tout satisfait, car je ne doute plus maintenant que je ne sois dans la vérité, après la rencontre admirable où je me trouve avec vous.
J'admire bien davantage la méthode des parties que celle des dés; j'avois vu plusieurs personnes trouver celle des dés, comme M. le chevalier de Méré, qui est celui qui m'a proposé ces questions, et aussi M. de Roberval : mais M. de Méré n'avoit jamais pu trouver la juste valeur des parties ni de biais pour y arriver, de sorte que je me trouvois seul qui eusse connu cette proportion.
2. Votre méthode est très-sûre et est celle qui m'est la première venue k la pensée dans cette recherche; mais, parce que la peine des combinaisons est excessive, j'en ai trouvé un abrégé et proprement une autre méthode bien plus courte et plus nette, que je voudrois vous pouvoir dire ici en peu de mots : car je voudrois désormais vous ouvrir mon cœur, s'il se pouvoit, tant j'ai de joie de voir notre rencontre. Je vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris.
Voici à peu près comme je fais pour savoir la valeur de chacune des parties, quand deux joueurs jouent, par exemple, en trois parties, et chacun a mis 32 pistoles au jeu :
Posons que le premier en ait deux et l'autre une; ils jouent maintenant une partie, dont le sort est tel que, si le premier la gagne, il gagne tout l'argent qui est au jeu, savoir 64 pistoles; si l'autre la gagne, ils sont deux parties à deux parties, et par conséquent, s'ils veulent se séparer, il faut qu'ils retirent chacun leur mise, savoir chacun 32 pistoles.
(') Parti signiGe ici répartilion entre des joueurs, d'après leurs chances relatives, de la masse des enjeux, dans le cas où le jeu est abandonné avant sa fîn.
Lq parti des des dont il s'agit ici paraît avoir été simplement demandé dans le cas où celui qui tient les dés a parié d'amener un point déterminé en un nombre de coups convenu ii^oir Lettre LXIX et ci-après, LXX, 7).
Quant au parti des parties^ la question est clairement exposée ci-après (2 à 6). Comparer, à la suite du Traité du triangle arithmétique de Pascal, l'application qui en est faite à ce môme problème {OEuvres de Pascal, édition de 1779, V, p. 3*2 ).
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(Considérez donc, Monsieur, que, si le premier gagne, il lui appartient 64; s*il perd, il lui appartient 32. Donc, s*ils veulent ne point hasarder cette partie et se séparer sans la jouer, le premier doit dire : « Je suis sûr d'avoir 32 pistoles, car la perte même me les donne; mais » pour les 32 autres, peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez, le » hasard est égal. Partageons donc ces 32 pistoles par la moitié et me » donnez, outre cela, mes 32 qui me sont sûres. » Il aura donc 48 pistoles et Fautre iG.
Posons maintenant que le premier ait deux parties et l'autre poini, et ils commencent à jouer une partie. Le sort de cette partie est tel que, si le premier la gagne, il tire tout l'argent, 64 pistoles; si l'autre la gagne, les voilà revenus au cas précédent, auquel le premier aura f/eujr parties et l'autre une.
Or, nous avons déjà montré qu'en ce cas il appartient, à celui qui a les deux parties, 48 pistoles : donc, s'ils veulent ne point jouer cette partie, il doit dire ainsi : « Si je la gagne, je gagnerai tout, qui est G { ; » si je la perds, il m'appartiendra légitimement 48 : donc donnez-moi » les 48 qui mesontcertaines, aucasmèmequejeperde, et partageons » les iG autres par la moitié, puisqu'il y a autant de hasard que vous » les gagniez comme moi. » Ainsi il aura 48 et 8, qui sont 56 pistoles.
Posons enfin que le premier n'ait qu une partie et l'autre /?o£/i/. Vous voyez. Monsieur, que, s'ils commencent une partie nouvelle, le sort en est tel que, si le premier la gagne, il aura deux parties à point, et partant, par le cas précédent, il lui appartient 56; s'il la perd, ils sont partie à partie : donc il lui appartient 32 pistoles. Donc il doit dire : « Si vous voulez ne la pas jouer, donnez-moi 32 pistoles qui me sont » sûres, et partageons le reste de 56 par la moitié. De 56 ôtez 32, » reste 24; partagez donc 2\ par la moitié, prenez-en 12 et moi 12, » qui, avec 32, font 44- »
Or, par ce moyen, vous voyez, par les simples soustractions, que, pour la première partie, il appartient sur l'argent de l'autre 12 pistoles; pour la seconde, autres 12; et pour la dernière, 8^
Or, pour ne plus faire de mystère, puisque vous voyez aussi bien
tout à découvert et que je n'en faisois que pour voir si je ne me trompois pas, la valeur (j'entends sa valeur sur l'argent de l'autre seulement) de la dernière partie de deux est double de la •< dernière >► partie de trois et quadruple de la dernière partie de quatre et octuple de la dernière partie de cinq, etc.
3. Mais la proportion des premières parties n'est pas si aisée à trouver : elle est donc ainsi, car je ne veux rien déguiser, et voici le problème dont je faisois tant de cas, comme en eflèt il me plaît fort :
Étant donné tel nombre de parties qu'on voudra, tromper la valeur de la première.
Soit le nombre des parties donné, par exemple 8. Prenez les huit premiers nombres pairs et les huit premiers nombres impairs, savoir :
et
I, 3, 5, 7, 9, II, i3, i5.
Multipliez les nombres pairs en cette sorte : le premier par le second, le produit par le troisième, le produit par le quatrième, le produit par le cinquième, etc.; multipliez les nombres impairs de la même sorte : le premier par le second, le produit par le troisième, etc.
Le dernier produit des pairs est le dénominateur et le dernier produit des impairs est le numérateur ài^ la fraction qui exprime la valeur de la première partie de huit : c'est-a-dire que, si on joue chacun le nombre de pistoles exprimé par le produit des pairs, il en appartiendroit sur l'argent de l'autre le nombre exprimé par le produit des impairs.
Ce qui se démontre, mais avec beaucoup de peine, par les combinaisons telles que vous les avez imaginées, et je n'ai pu le démontrer par cette autre voie que je viens de vous dire, mais seulement par celle des combinaisons. Et voici les propositions qui y mènenl, qui sont proprement des propositions arithmétiques touchant les combinaisons, dont j'ai d'assez belles propriétés:
