LXXIII. - 29 AOUT

Je n'ai garde de faillir tandis que je rencontrerai de cette sorte, et je suis persuadé que le vrai moyen pour s'empêcher de faillir est celui de concourir avec vous. Mais, si j'en disois davantage, la chose tiendroit du compliment, et nous avons banni cet ennemi des conversations douces et aisées.

Ce seroit maintenant à mon tour à vous débiter quelqu'une de mes inventions numériques; mais la fin du parlement augmente mes occupations, et j'ose espérer de votre bonté que vous m'accorderez un répit juste et quasi nécessaire.

2. Cependant je répondrai à votre question des trois joueurs qui jouent en deux parties. Lorsque le premier en a une, et que les autres n'en ont pas une, votre première solution est la vraie, et la division de l'argent doit se faire en 17, 5 et 5 : de quoi la raison est manifeste et se prend toujours du même principe, les combinaisons faisant voir d'abord que le premier a pour lui 17 hasards égaux, lorsque chacun des < deux > autres n'en a que 5.

3. Au reste, il n'est rien à l'avenir que je ne vous communique avec toute franchise. Songez cependant, si vous le trouvez à propos, à cette proposition :

Les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont toujours des nombres premiers.

Le quarré de 2, augmenté de l'unité, fait 5 qui est nombre premier.

Le quarré du quarré fait iG qui, augmenté de l'unité, fait 17, nombre premier.

Le quarré de iG fait 256 qui, augmenté de l'unité, fait 207, nombre premier.

Le quarré de 25G fait 65 536 qui, augmenté de l'unité, fait 65 537, nombre premier.

Kt ainsi à l'infini.

C'est une propriété de la vérité de laquelle je vous réponds. La démonstration en est très malaisée et je vous avoue que je n'ai pu

oncore la trouver pleinement; je ne vous la proposerois pas pour la chercher, si j'en étois venu à bout (*).

Cette proposition sert à l'invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j'ai fait des découvertes considérables. Nous en parlerons une autre fois.

Je suis, Monsieur, votre, etc..

A Toulouse, le 9.9 aoûl iGS^.

Feumat.

FERMAT A PASCAL (')

V£^'DRED1 25 SEPTEMBRE 165^.

{OEuures de Pascal, IV, p. 437*4 1'«)

MoNSiEi:n,

1. N'appréhendez pas que notre convenance se démente, vous l'avez confirmée vous même en pensant la détruire, et il me semble qu'en répondant a M. de Roberval pour vous, vous avez aussi répondu pour moi.

Je prends l'exemple des trois joueurs, au premier desquels il manque une partie, et à chacun des deux autres deux, qui est le cas que vous m'opposez.

Je n'y trouve que 17 combinaisons pour le premier et 5 pour chacun des deux autres : car, quand vous dites que la combinaison arc est bonne pour le premier et pour le troisième, il semble que vous ne vous souveniez plus que tout ce qui se fait après que l'un des joueurs a gagné, ne sert plus de rien. Or, cette combinaison ayant fait gagner le premier dés la première partie, qu'importe que le troisième en

(») roir Tome ï, p. i3i, et Tome H, p. '106. ( *) Réponao à la lettre LXXll.