LXXIV. - 25 SEPTEMBRE

gagne deux ensuite, puisque, quand il en gagneroit trente, tout cela seroit superflu?

Ce qui vient de ce que, comme vous avez très bien remarqué, cette fiction d'étendre le jeu à un certain nombre de parties ne sert qu'il faciliter la règle et (suivant mon sentiment) a rendre tous les hasards égaux, ou bien, plus intelligiblement, à réduire toutes les fractions à une même dénomination.

Et afin que vous n'en doutiez plus, si au lieu de trois parties, vous étendez, au cas proposé, la feinte jusqu'à quatre, il y aura non seulement 27 combinaisons, mais 81, et il faudra voir combien de combinaisons feront gagner au premier une partie plus tôt que deux à chacun des autres, et combien feront gagner à chacun des deux autres deux parties plus tôt qu'une au premier. Vous trouverez que les combinaisons pour le gain du premier seront 5i et celles de chacun des autres deux ï5, ce qui revient à la même raison.

Que si vous prenez cinq parties ou tel autre nombre qu'il vous plaira, vous trouverez toujours trois nombres en proportion de 17,

Et ainsi j'ai droit de dire que la combinaison ace n'est que pour le premier et non pour le troisième, et que eea n'est que pour le troisième et non pour le premier, et que partant ma règle des combinaisons est la même en trois joueurs qu'en deux, et généralement en tous nombres.

2. Vous aviez déjà pu voir par ma précédente (') que je n'hésitois point à la solution véritable de la question des trois joueurs dont je vous avois envoyé les trois nombres décisifs, 17, 5, 5. Maiâ parce que M. < de > Roberval sera peut-être bien aise de voir une solution sans rien feindre, et qu'elle peut quelquefois produire des abrégés en beaucoup de cas, la voici en l'exemple proposé :

Le premier peut gagner, ou en une seule partie, ou en deux, ou en trois.

(») Lettre LXXm, 2.

S'il gagne en une seule partie, il faut qu'avec un dé qui a trois faces, il rencontre la favorable du premier coup. Un seul dé produit

trois hasards : ce joueur a donc pour lui « des hasards, lorsqu'on no joue qu'une partie.

Si on en joue deux, il peut gagner de deux façons, ou lorsque lo second joueur gagne la première et lui la seconde, ou lorsque le troisième gagne la première et lui la seconde. Or, deux dés produisent

9 hasards : ce joueur a donc pour lui - des hasards, lorsqu'on joue deux parties.

Si on en joue trois, il ne peut gagner que de deux façons, ou lorsque le second gagne la première, le troisième la seconde et lui la troisième, ou lorsque le troisième gagne la première, le second la seconde et lui la troisième; car, si le second ou le troisième joueur gagnoit les deux premières, il gagneroit le jeu, et non pas le premier

joueur. Or, troi^ dés ont 27 hasards : donc ce premier joueur a -^ des hasards lorsqu'on joue trois parties.

La somme des hasards qui font gagner ce premier joueur est par

conséquent 0» - et —1 ce qui fait en tout — •

Et la règle est bonne et générale en tous les cas, de sorte que, sans recourir à la feinte, les combinaisons véritables en chaque nombre des parties portent leur solution et font voir ce que j'ai dit au commencement, que l'extension à un certain nombre de parties n'est autre chose que la réduction de diverses fractions a une même dénomination. Voilà en peu de mots tout le mystère, qui nous remettra sans doute en bonne intelligence, puisque nous ne cherchons l'un et autre que la raison et la vérité.

3. J'espère vous envoyer à la Saint-Martin un Abrégé de tout ce que j'ai inventé de considérable aux nombres. Vous me permettrez d'être concis et de me faire entendre seulement à un homme qui comprend tout à demi-mot.

Ce que vous y trouverez de plus important regarde la proposition