LXXIV. — 23 SEPTEMBRE I 65i

que tout nombre est composé d'un, de deux ou de trois triangles; d'un, de deux, de trois ou de quatre quarrés; d'un, de deux, de trois, de quatre ou de cinq pentagones; d'un, de deux, de trois, de quatre, de cinq ou de six hexagones, et a l'infini (').

Pour y parvenir, il faut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de i, est composé de deux quarrés, comme 5, i3, 17, 29, 37, etc.

Étant donné un nombre premier de cette nature, comme 53, trouver, par règle générale, les deux quarrés qui le composent.

Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 3, est composé d'un quarré et du triple d'un autre quarré, comme 7, i3, 19, 3i, 37, etc.

Tout nombre premier, qui surpasse de i ou de 3 un multiple de 8, est composé d'un quarré et du double d'un autre quarré, comme 1 1 , 17, 19, 4i, 43, etc.

Il n'y a aucun triangle en nombres duquel l'aire soit égale à un nombre quarré (*).

Cela sera suivi de l'invention de beaucoup de propositions que Bachet avoue avoir ignorées, et qui manquent dans le Diophante.

Je suis persuadé que dès que vous aurez connu ma façon de démontrer en cette nature de propositions, elle vous paroitra belle et vous donnera lieu de faire beaucoup de nouvelles découvertes; car il faut, comme vous savez, que muUi pertranse€Uit ni augeaiur scientia (').

S'il me reste du temps, nous parlerons ensuite des nombres magiques, et je rappellerai mes vieilles espèces sur ce sujet.

Je suis de tout mon cœur. Monsieur, votre, etc..

Fermât.

Ce iS septembre.

Je souhaite la santé de M. de Carcavi comme la mienne et suis tout à lui.

( » ) Voir Lettre XU, 3.

(») /wrLeUreXII, 2.

( * > Voir plas haut p. 35, note 2.

Fkmat. ~ II. 4o

Je vous écris de la campagne, et c'est ce qui retardera par aventure mes réponses pendant ces vacations.

LXW.

PASCAL A FERMAT (•)