LXXXV. — 15 AOUT

tant qu'ils sont compris en la suite ou progression des nombres : i , G, 3o, i4o, 63o.

On peut inférer de là que la ligne courbe VC (fig, 86) ( * ) n'est point égale en elle-même et qu'elle ne peut provenir d'aucun mouvement continu qui soit égal ou réglé, mais de plusieurs, différens suivant ses parties; et que c'est une ligne composée de portions de plusieurs courbes comprises entre les parallèles à l'axe VX de la figure. Car, en

Kig. 86.

icelle, il est bien nécessaire que la moyenne ligne tirée entre la première et la seconde parallèle, savoir entre i et 6, soit moindre que 6. Mais, outre que cette moyenne ligne seroit de différente langueur suivant la nature et la propriété de cette portion de la courbe VC, qui n'a rien de commun avec les autres portions, comme a été dit, elle n'auroit rapport qu'avec les deux termes i, 6, et non pas avec les autres, ni avec les moyennes qu'on auroit tirées entre deux, si on prenoit le tout conjointement.

III. En la première proposition le dit sieur Wallis propose une suite de quantités commençant par o (qui représente le point) et qui se suivent en progression arithmétique, et cherche quelle raison il y a entre la somme des dites quantités et la somme d'autant de termes égaux à la plus grande des données.

Le moyen qu'il donne pour trouver cette raison est de prendre les sommes de diverses quantités de nombres commençant par les moindres, puis comparer les raisons les unes aux autres et inférer de là une proposition universelle.

On se pourroit servir de cette méthode, si la démonstration de ce

(0 La figure ne se trouvant pas dans le Commercium, nous la restituons d'après YArithmetira infinitorum de Wallis {Opéra mathematica, Oxford, 1695, in-f*, tome I,

qui est proposé étoit bien cachée et, qu*auparavant de s'engager à la chercher, on se voulut assurer à peu près de la vérité; mais il ne s'y faut fier que de bonne sorte et on doit y apporter les précautions nécessaires. Car on pourroit proposer telle chose et prendre telle règle pour la trouver qu'elle seroit bonne a plusieurs particuliers et néanmoins seroit fausse en effet et non universelle. De sorte qu'il faut être fort circonspect pour s'en servir, quoiqu'en y apportant la diligence requise, elle puisse être fort utile, mais non pas pour prendre, pour fondement de quelque science, ce qu'on en aura déduit, comme fait le sieur Wallis : car, pour cela, on ne se doit contenter de rien moins que d'une démonstration, et principalement au sujet de la proposition dont il s'agit, dont la solution et démonstration est fort facile.

Voici comme on démontrera que les dites quantités proposées, étant jointes ensemble, font la moitié d'autant de quantités égales à la plus grande d'icelles :

Soient exposées des quantités ou nombres qui commencent par le point ou par o, et qui se suivent en progression arithmétique; et soient celles de la première ligne

1* Quantités données o a h c d

2° Quantités égales à la plus grande des données d d d d d

3° Excès des plus grandes par dessus les données. . . d c b a o

Puisque les quantités données sont en progression arithmétique, le troisième terme h surpassera le second de pareille quantité que le second (savoir a) surpasse le premier qui est o; mais l'excès de a par dessus o est a : et, partant, toutes ces quantités se surpasseront l'une l'autre de proche en proche selon la quantité du second terme a, VA si on prend les quantités de deux en deux, laissant une d'icelles entre deux, comme sont a, c, ou A, d de la première ligne, leur différence sera le troisième terme, comme il est évident. Et de même, si on les prenoit de trois en trois, elles auroient le quatrième terme c pour leur différence.