XIII. - 22 SEPTEMBRE

J'ai aussi trouvé des nombres en proportion donnée ou qui surpassent d'un nombre donné leurs parties aliquotes; et plusieurs autres.

5. Voilà quatre sortes de propositions que ma méthode embrasse et que peut-être vous n'avez pas sues.

Sur le sujet du i", j'ai quarré infinies figures comprises de lignes courbes (*); comme, par exemple, si vous imaginez une figure comme la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées soient en proportion des lignes qu'elles coupent du diamètre. Cette figure approchera de la parabole et ne diffère qu'en ce qu'au lieu qu'en la parabole on prend la proportion des quarrés, je prends en celle-ci celle des cubes; et c'est pour cela que M. de Beaugrand, à qui j'en fis la proposition, VsippeWe^ parabole solide.

Or j'ai démontré que cette figure est au triangle de même base et hauteur en proportion sesquialtère. Vous trouverez, en la sondant, qu'il m'a fallu suivre une autre voie que celle d'Archimède (»n la quadrature de la parabole et que je n'y fusse jamais venu par là.

6. Puisque vous avez trouvé ma proposition du conoïde excellente, la voici plus générale (Jig. 38) :

Si circa rectam DA parabole^ cujus v^erlex B et axis BF et applicata AF, circlunducatur, fiel conoides novœ speciei, quo secto bijariam^ piano ad axem recto, dimidium ipsiiis ad conum ejusdem basis et altitudinis est ut S ad 5.

(») Foir Tomo I, pages 255 à 266.

Fermât. —-II. 10

Si verô piano secetur ad axent recto inœqualiter, piita per punctum E, segmenturn conoidis ABCE ad coniun ejusdem basis et altitudinis est

ut quintuplum quadrali ED unà cum rcctangulo AED bis

el reclangulo sub DF in AE

ad quadrati ED quintuplum,

et vicissim segmenturn conoidis DCE est ad conum ejusdem basis et altitudinis

ut quintuplum quadrati AE unà cum rectangulo AED bis

et rectangulo sub DF in DE ad quadrali AE quintuplum.

Pour la démonstration, outre les aides que j'ai tirées de ma méthode, je me suis servi des cylindres inscrits et circonscrits.

7. J'avois omis le principal usage de ma méthode qui est pour l'invention des lieux plans et solides; elle m'a servi particulièrement à trouver ce lieu plan que j'avois auparavant trouvé si difficile (*) :

Si a quotcwnque datis punctis ad punctum unum injlectantur rectœ et sint species quœ ab omnibus fiunt dato spatio œquales, punctum continget positione datant circumferentiam.

Tout ce que je viens de vous dire ne sont qu'exemples, car je vous puis assurer que, sur chacun des points précédents, j'ai trouvé un très grand nombre de très belles propositions. Je vous envoierai la démonstration de celles que vous voudrez : permettez-moi néanmoins de vous prier de les essayer plutôt et de m'en donner votre jugement.

8. Au reste, depuis la dernière Lettre que je vous écrivis, j'ai trouvé la démonstration de la proposition que je vous faisois (^). Elle m'a donné grandissime peine et ne se présente pas d'abord.

Je vous conjure de me faire part de quelqu'une de vos pensées et de me croire, etc.

(») Voir Tomo I, pag;e 37 {Lieux plans d* Apollonius, II, 5). («) ro/r Lettre XI, 7.