XIV. 11 OCTOBRE

prouvez, nous communiquerons ensuite des conséquences qui en dépendent.

3. J'ai trouvé la démonstration ( * ^ de la somme des quarrés de deux côtés rationaux, commensurables en longueur, appliquée au double de |a somme des côtés, excédant d'une figure quarrée. Mais, puisque vous Favez aussi trouvée, je ne vous dirai ici que mon principal fondement qui est que, de deux nombres quelconques, la somme de deux fois le quarré du premier, deux fois le quarré du second et deux fois le produit des deux nombres, n*est pas un nombre quarré, d'autant que, prenant les moindres nombres de leur raison, un nombre simplement pris n'est pas quarré. Si nous avons tous deux un même moyen, ceci suffît; si vous en avez un autre, ce que vous reconnoîtrez parce discours, vous me ferez faveur de me l'apprendre, et moi je vous écrirai le mien tout au long, si vous le désirez.

4. J'ai aussi trouvé la démonstration ( - ) de votre conuïde et celle de votre parabole solide et, en conséquence, celles d'une intinité d'autre> pareilles, quarréquarrées, quarrésolides etc.

5. J'ai trouvé les tangentes de toutes ces tigures : par exemple, en la parabole solide, la portion de l'axe, prise enln* la tangente el le sommet, est double de la portion du même axe, prise entre le sommet el la ligne appliquée de l'attouchement à l'axe.

6. J'ai, par le même moyen, quarré la parabole géométriquement, autrement qu'Archimède.

7. El je me trompe fort si je n'ai rencontré le même moyen qu»* vous, me servant des lignes parallèles à l'axe et des portions de ces lignes prises entre les paraboles et la ligne qui louche le> mêmes paraboles par le si^mmet, lesquelles portions se suivent en la raison de Tordre naturel des nombres quarres ou des nombres cubes etc. Ur, la somme des quarrés est toujours plus que le tiers du cube qui a pour

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côté le côté (lu plus grand quarré, et la même somme des quarrés, le plus grand étant ôté, est moindre que le tiers du même cube; la somme des cubes plus que le quart du quarréquarré et, le plus grand cube ôté, moins que le quart; etc. Si par ce discours vous reconnoissez que ce n'est pas votre moyen, j'en serai d'autant plus réjoui pour ce que nous en aurons deux, et vous me ferez la faveur de m'envover le vôtre, faisant le même de ma part.

8. Pour les tangentes de la conchoïde, je les ai considérées il y a longtemps, comme étant déterminations d'équations quarréquarrées. Sur ce sujet, il y a deux points en la conchoïde par lesquels on ne peut mener des tangentes : je vous prie de les considérer et vous trouverez une admirable propriété d'angles au sommet l'un de l'autre à la section d'une ligne droite et de la conchoïde (').

9. J'estime vos propositions (^) des nombres et celle du lieu plan fort difficiles; ce que je saurai mieux quand j'aurai eu le loisir de les considérer, comme aussi les centres de gravité des figures susdites tant planes que solides, n'étant pas résolu pourtant de m'obstiner après; car j'aimorai mieux tenir de vous ce que vous en aurez, si vous l'avez agréable.

10. Je vous prie pourtant de me mander si le centre de gravité de votre demi-conoïde n'est pas ce point où l'axe est divisé de sorte que l'un des segments est à l'autre comme 1 1 à 4» pour ce qu'un léger raisonnement et non encore bien considéré m'a semblé me mener à cette raison (').

11. Une autre tbis je vous pourrai mander de nos propositions ainsi que vous le désirez. Pour cette heure, que je n'emploie k écrire ceci qu'un temps dérobé, je vous envoierai seulement celle-ci :

De deux cônes droits égaux et isopériniètres étant données les bases inégales ou les hauteurs inégales, trouver les cônes.

( ï ) Voir Lettre XIH, 3. — Roberval parle ici des points d'inflexion do la conchoïde. ( V) Voir Lettres XIU, 4 et 7.

(3) Voir ci-après Lettre XV. 5.