XV. - k NOVEMBRE

Quand je dis isopérimètres y j'entends les bases y comprises ou exceptées, comme vous voudrez.

Vous en aurez la solution quand il vous plaira, si vous ne voulez prendre la peine de la trouver vous-même, et je vous l'aurois envoyée dès maintenant, n'étoit que je crois que vous désirerez avoir le plaisir d'y penser.

Attendant que vous me fassiez la faveur de m'écrire, je demeurerai etc.

FERMAT A ROBERVAL

MARDI k NOVEMBRE 1636.

( /«, p. i46-i47;Bf''2'*. )

Monsieur,

1. Me réservant à vous écrire une autre fois les défauts que j'ai trouvés dans votre démonstration (') ot dans votre Livre imprimé (^), que j'espcre vous faire avouer par vos propres maximes, je me contenterai de répondre présentement aux autres points de votre Lettre.

2. Et premièrement vous saurez que nous avons concouru au même médium sur le sujet de la somme des deux quarrés rationaux, commen^urables en longueur, appliquée au double de la somme des cotés, excédant d'une figure quarrée (').

3. Vous vous êtes servi aussi d'un même médium (*) que moi en la quadrature des paraboles solides, quarréquarrées etc. à l'infini; mais vous supposez une chose [vraie] de laquelle vous n'avez possible

0) Lellre XIV, 2. — Fermât annonce les objections contenues dans la Pièce XVl, ciaprès.

(«) yoir Lettre VU, 4, note i.

(») f^oir Lettre XIV, 3.

(*) roi> Lettre XIV, 7.

Sk ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

pas la démonstration précise, qui est que la somme des quarrés est plus grande que le tiers du cube qui a pour côté le côté du plus grand quarré; la somme des cubes plus que le quart du quarréquarré; la somme des quarréquarrés plus qu'un cinquième du quarrécube; etc.

Or, pour démontrer cela plus généralement, il faut, étant donné un nombre in progrcssione naturali, trouver la somme, non seulement de tous les quarrés et cubes, ce que les auteurs qui ont écrit ont déjà fait (*), mais encore la somme des quarréquarrés, quarrécubes etc., ce que personne que je sache n'a encore trouvé; et pourtant cette connoissance est belle et de grand usage et n'est pas des plus aisées.

.l'en suis venu à bout avec beaucoup de peine. En voici un exemple :

Si quadrupliun maximi numeri binario auctum diicas in quadratum trianguli numerorum, et a producto dénias summum quadratorum a singidis,fiel summa quadraloquadratorum quintupla.

Il semble que Bachet, dans son Traité De numeris muUangulis {^), n'a pas voulu tàter ces questions après avoir fait celle des quarrés et des cubes; je serai bien aise. que vous vous exerciez pour trouver la méthode générale, pour voir si nous rencontrerons. En tout caj, je vous offre tout ce que j'y ai fait, qui est tout ce qu'on peut dire sur cette matière.

Voici cependant une très belle proposition, qui peut-être vous y servira; au moins c'est par son moyen que j'en suis venu à bout. C'est une règle que j'ai trouvée pour donner la somme, non seulement des triangles, ce qui a été fait par Bachet et les autres C*), mais encore des pyramides, triangulotriangulorum etc. a l'infini. Voici la proposition (*) :

Ultimum latiis in latus proxime majus facit duplum trianguli,

(») Voir Lettre Xll, 10 cl 11.

(*) Voir Lettre XU, 7, note i.

(') Bachet {Appendix ad librutn de numeris poljgonis, I, prop. 18) donne la sommation, non seulement des triangles, mais en général des polygones de même genre ayant pour côtés les nombres consécutifs à partir de l'unité.

(*) To/r Lettre XU, 12.