EXPLIQUÉE ET ENVOYÉE PAR M. FERMAT A M. DESCARTES

1. La méthode générale pour trouver les tangentes des lignes courbes mérite d'être expliquée plus clairement qu'elle ne semble l'avoir été.

Soit la courbe donnée ZCA {^fig* 67), de laquelle le diamètre soit CB. Soit encore donné dans la courbe le point A, duquel soit menée l'appliquée AB sur le diamètre. Il faut chercher la tangente AD, de laquelle le concours avec le diamètre prolongé se fait au point D.

Les lignes AB et BC sont données; supposons que BA s'appelle H^ et que BC s'appelle D. Supposons que la ligne BD, que nous cherchons, s'appelle A. Prenons à discrétion un point, tel que E, sur la tangente, duquel soit tirée EF parallèle a AB, et supposons que la ligne BF soit /?.

(*) La Lettre est évidemment incomplète. D'après la réponse de Descartes à Mersennc, en date du 27 juillet i638 {Lettres de Descartes, éd. Clerselier, lU, 66, p. 374-375), Fermal y aurait répondu à la question V de Sainte-Croix {voir p. 64, note), c'est-à-dire donné le nombre 1 476 3o4 896, comme quatrième connu dont le double soit éfial à la somme de ses parties aliquotes. Descartes ajoute :

« ... il met un peu devant, touchant la quatrième question do M. de Sainte-Croix (voir p. 29, note 2), que j'aurai peut-ôtre fait la même équivoque, qui lui arriva la première fois qu'elle lui fut proposée, et que j'aurai cru qu'il suffisoit que les nombres cherchés ne fussent ni quarrés, ni composés de deux quarrés, bien qu'ils fussent composés de quatre, ce qui n'est pas pourtant selon le sens de l'auteur etc. »

(*) Pièce jointe à la précédente {voir page i52, note i). — Elle a été publiée par M. Charles Henry dans ses Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermât (pages 184 à 189), d'après le brouillon d'Arbogast. Celui-ci ne l'a connue que par une copie de Mersenne, aujourd'hui perdue.