Comme, en la parabole, par exemple, je fais

comme BC à CF, ainsi BAquarré à FEquarré,

ou bien, pour éviter les fractions et la diversité des lignes,

comme BC à CF, ainsi BD quarré à DFquarré;

car c'est toujours la même chose, k cause des deux triangles semblables DBA, DFE.

Ou bien encore je pourrois comparer le quarré FE avec le rectangle compris sous le côté droit et la ligne CF, comme si ce quarré étoit égal à ce rectangle, quoique en elfet il ne le soit pas, puisque ce sont seule-

ment les appliquées à la courbe qui ont la propriété que nous donnons par adéquation à la ligne FE.

Cela étant fait, j'ôte les choses communes et divise le reste par E. J'efface tout ce qui reste mêlé avec E et égalise le surplus, de sorte que, par cette dernière équation, je connois la valeur de A et par conséquent la ligne BD et la tangente.

3. Et pour faire voir que la méthode est générale, et qu'elle satisfait avec pareille facilité à toutes sortes de questions, nous la pouvons appliquer, pour servir d'un second exemple, à la ligne courbe proposée par M. Descartes ( * ).

Soit ta courbe CA (fig. 68), de laquelle la propriété est telle que, quelque point quon prenne sur la dite courbe, comme A, tirant la perpendicu-

Fig. 68.

D CIF

laire AB, les deux cubes CB et BA soient égaux au parallélépipède compris sous une ligne droite donnée, comme N, et sous les deux lignes CB et BA.

Supposons que la chose soit déjà faite, et une construction pareille à la précédente, avec les noms des lignes BD, BC, BA, CF, FE. Il faudra comparer, par adéquation, les deux cubes CF, FE avec le solide compris sous iV, FC, FE.

Les deux cubes de CF, FE sont en notes

Dcub. — Ecub, — Dq, in ^. 3 -h /> in Eq. 3

Bciib. in Acub. — ficub, in Ecub. — Bciib. mAq, \\\E .Z -h Bcub. in A iii Eq, 3

Acub. '

(») Foir Lellro XXV, 6.

leurs, quelle est la proportion des deux lignes B et />, ou bien BA et BC, données. Car il peut arriver que quelquefois, suivant la diversité des proportions de B et de D, la ligne courbe sera convexe et d'autres fois concave; quelquefois encore que la tangente sera parallèle au diamètre BC; quelquefois enfin que le concours avec le diamètre se fera de l'autre côté, ce qui se détermine aisément par la méthode même, lorsqu'on nous donne la proportion des deux lignes données BAetBC, comme il est très aisé de voir et de faire comprendre. Lorsque je parle de la proportion des deux lignes données, j'entends leurs valeurs, en nombres ou sourds ou rationaux; car autrement on sait assez que, deux lignes étant données, leur proportion est aussi donnée.

4. Il paraît donc que ou je me suis mal expliqué ou que M. Descartes a mal compris mon Écrit latin (*); s'il veut que ce soit le premier, je ne le lui contesterai guère. Il s'est aussi trompé en ce qu'if a cru que, pour appliquer la méthode de maximis et minimis à l'invention des tangentes, il falloit chercher une ligne, comme AD {fig- 69), menée,

Fig. 69.

(lu point A donné, sur le diamètre, en telle sorte que AD soit la plus grande qui puisse être tirée du point D à la courbe. M. de Robcrval (^) lui a déjà fait voir la raison de son mécompte, duquel il a voulu tirer cette conséquence, que la méthode de maximis et minimis étoit fautive et avoit besoin d'être corrigée, en quoi il s'est aussi bien trompé qu'au reste.

5. Mais pour lui marquer de quelle façon la méthode de maximis et minimis peut être appliquée à l'invention des tangentes, la voici :

(*) Methodus ad disqnirendani maximam et minimani, Tome I, page i33. (*) Lettres de Descartes y éd. Cicrselier, UI, 58.