Diophante, VI

a Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée de l'un ou de l'autre des deux côtés de l'angle droit, fasse un carré dans les deux cas. »

Diophante ne donne, comme satisfaisant à ce problème, que des triangles d'une seule espèce; notre méthode fournit une infinité de triangles d'espèces différentes, lesquelles dérivent successivement de la solution de Diophante.

Soit, en effet, déjii trouvé le triangle 3.4 -j satisfaisant à cette condition « que le produit des deux cotés de l'angle droit fasse un carré,

(I) « Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée (diminuée) de l'hypoténuse, fasse un nombre donné. r>

si on lui ajoute le produit du plus grand de ces deux côtés par leur diiïérence et par l'aire du triangle ». Il s'agit d'en déduire un autre jouissant de la même propriété.

Soient 4 le plus grand coté de l'angle droit du triangle cherché et 3 -H a- le plus petit. Le produit des deux cotés de l'angle droit, si on lui ajoute le produit du plus grand des deux côtés par leur diiïérence et par l'aire du triangle, fera 30 — i2a- — Sx-, expression qu'il faut égaler à un carré. D'un autre côté, les cotés 4 et 3 + x étant ceux de l'angle droit d'un triangle rectangle, la somme de leurs carrés doit faire un carré; or cette somme fait 25 + 6a: -i- .i", seconde expression qu'il faut aussi égaler à un carré.

On a donc une double équation, qu'il est facile de résoudre, savoir