Diophante, VI, 15 et

a Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, diminuée (augmentée) soit de l'iiypoténusc, soit de l'un des doux côtés de l'angle droit, fasse un carré. »

On peut, avec notre méthode, essayer la question suivante qui, autrement, est très difficile :

Tromper un triangle rectangle tel qu'en retranchant l'aire, soit de l'hypoténuse, soit de l'un des côtés de l'angle droit, on ail toujours un carré.

[333,335] OBSERVATIONS SUR DIOPIIANTE. 2C!>

i2. — Diophante, VI, 19.

(I Trouver un triangle rectani^Ie, lel que le périmclrc en soit un cube et que la soninic lie l'aire et de l'hypoténuse fasse un carré.

I) ... Il faut trouver un carré qui. augmenté de 2, fasse un cube. ... «

Peul-il y avoir, en nombres cnliers, un autre carré que a5 qui, aui;monté do 2, fasse un cube? Cela parait certainement au premier abord dilFicile à discuter; cependant, je puis prouver, par une démonstration rigoureuse, que 2:") est liien le seul carré entier qui soit inférieur à un cube de deux unités. En nombres fractionnaires, la méthode de Bachet fournit une infinité de tels carrés, mais la théorie des nombres entiers, qui est très belle et très subtile, n'a pas été connue jusqu'il présent, ni par Bachet, ni par aucun auteur dont j'aie vu les écrits.

■43. — Commentaire de Bachet sur Diophante, 'VI, 24. Il Ce commentaire est consacré à la théorie de la double éqtiaiion. u

Là OÙ ne suffisent pas les c'quations doubles ou ûiTrXoiaoTrjTE?, il laul recourir à des équations triples ou Tpi-Xoia6Tï]T£ç, découverte qui m'appartient et qui conduit à la solution d'une foule de très beaux probliîmes.

Soit, par exemple, à égaler ii des carrés les expressions

il y a là une équation triple qu'il est aisé de résoudre par l'intermédiaire d'une équation double.

Si, en effet, on substitue à x une expression qui, augmentée de \, fasse un carré, par exemple x- -1- 4-^' 'c^ trois expressions ci-dessus à égaler à des carrés deviendront

La première est un carré par construction; il reste .donc à satisfaire aux conditions