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d'espèce, donc le rapport -^; mais, par hypothèse, -rr- estdonné; donc
-4t le sora, ot il est dus lors facile de prouver que G est sur une droite (lonnoo de position.
Consiraction : Par le point B quelconque, je mené la perpondicu-
AN
IR
iairc IBM; IB est donné. Soit jvjt^ = nry P''"' I*' pf»iiit M je mène aux deux données une parallidc qui satisfera à la question, comme il est facile de le démontrer.
Si donc d'un [)oint l'on mène, à deux droites [)arallèles ou concourantes données de position, des droites sous des angles donnés etdans un rapport donné, le point sera sur une di'oite donnée de position.
Voi('i maintenant la seconde partie de la proposition : Soient données les droites AC, A(j (,/ig'. 21), concourant en A. Moue/ AN faisant avec la droite AC l'autçle donné CAN, et ésrale à la
Fia. 21.
droite donnée. Menez NG parallèle i» AC, et soit KO(j l'autre angle donné. D'apri-sla première partie de cette proposition, menez (jE telle (|ue si, d'un point quelconque l'] pris sur cette droite, on mène ED, EF parallèles à KO, AN, elles soient dans le rapport donné; GE sera donnée de position, d'après ce (jui a été démontré. Prolongez FE jus- (|u"en B, FB sera donnée do grandeur, comme égale à la donnée AN, à cause des parallèles. Quel que soit donc le point E pris sur la droite (!E, si l'on mène do ce ()oint aux droites AC, AG les droites ED, EB sous les angles donnés, BE plus EF, à (jui ED est dans le rapport donné, fait la somme donnée, comme le veut la proposition.
Si donc d'un point on mène, ii deux droites concourantes données de position, doux droites sous des angles donnés et (elles que l'une.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS
plus une droilo ilaiis un rapport donné avec l'autro, fasse une somme donnée, le point sera sur une droite donnée de position.
Pnoi'osiTioN \'II.
« Soient en nombre quelconque des droites données de position, auxquelles on rm'ne d'un point des liff/ies droites sous des angles donnés; si le produit d'une ligne donnée et d' une des menées, avec le produit de la ligne donnée et d'une autre menée, etc., est égal au produit d'une donnée et de la dernière des menées, le point sera sur une ligne droite donnée de position ( ' ) . »
Cette proposition est une extension de la précédente; ce (]ni a été plus haut démontré pour deux lignes dans la première partie de la proposition VI est proposé ici comme ayant lieu [)our un nomltre (|uclconque.
Soient AH, B(>, CA (Jig. 22) trois droites données de position e( formant un triangle; il faut trouver une droite, EK par exemple, sur
iaciuelle prenant un point quelconque M, et menant de ce point les droites MR, MO, Ml, sous les angles donnés MRA, MOB, MIA, on ait
OM-t-MI , ...
— TjTj — dans un rapport donne.
D'après la première partie de la proposition précédente, on trouvera une droite sur la(|uelle prenant un point (juelconijue et mciiani
(') Li |]';iilucliijii usl ac(uiiiiiiioilée au sons aiJmis par Ponnat ( voir t. I, p. >\. uolc i).
24 Œ U V R E S I) K F R II M Aï . f M, îC l
(lo ce poiiil des droites sur AB, BC, les menées soient dans le rapport donné. Cette droite est donnée de position, donc le point où elle renr.onlre AC, soitE. Si l'on mène de ce point EV, ED, parallèles à MO et
VE
d'après la construction, ^ sera dans le rapport donné. Prenant
ensuite les droites AC et AB, par le même procédé, on trouvera un point K, tel que les droites KL, KZ, issues de ce point et sous les angles donnés, c'est-à-dire parallèles à MR, MI, soient dans le rapport
donné. On aura donc aussi ït-t^ dans le rapport donné. Si l'on jointEK,
un point quelconque pris sur cette droite satisfera à la question.
Soit pris M par exemple, pour profiter de la construction déjà faite ; menez MF parallî'lc à BA, et MH parallèle à BC. Il faut prouver que
