I$A AI
(îA X Al) -— IIA X Al, le leclaiiglc iloiiné.
La proposition est ainsi entièrement établie; si donc, etc.
Dans ce cas, j'ai pris le point A en dehors du cercle donné de posi-
ŒUVRES DE EEHIMAT.
tion ; mais on peut lo prendre au dedans, comme dans le second cas de la proposition 2.
Les quatre propositions précédentes supposent un seul point donné, les suivantes deux.
5. PiîOi'osiTiON. — Si par deux poiiils donnés on mène deux liij^ncs parallcics dans un rapport donné, et que l' extrémité de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'autre.
Soient A, H (//;,'•. 9) les deux points, CBDK une droite donnée de po-
■ Fis. 0
sition, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire AB. Soit HE parallèle à cette dernii're, et t..; 1(^ rapport donné; le point M sera donné.
Menez par ce point FEG perpendiculaire à HE et parallèle à la droite donnée d(î position. Je dis que toutes les paralli'les, menées par les points A, H et terminées aux droites CD, FG données de position,
seront dans le rapport donné 'j^..,-
En effet, les angles BAD, EHG seront égaux, comme les droits en B, E; donc les triangles BAD, EHG seront semblables. Le reste est facile.
Si donc des deux points A, H, on mène les parallèles AD, HG dans le rapport donné, et que AD se termine à une droite donnée de position, HG se terminera aussi à une droite donné(' de position, par conséquent à un lieu plan.
Dans la figure ci-contre {fig. 10), soient donnés les points A, Z et, de position, le cercle BC de centre E. Joignez AE coupant le cercle
en B; menez à AE la parallèle ZN et soit ^^ dans le rapport donné. Pro-
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS
HL
longe/ ZN jusqu'en I, -^ étant aussi tiaiis le rapport donné. Le cercle
décrit de I comme centre, avec IN comme rayon, sera donné de position et satisfera à la (fuestion.
En effet, si l'on mène les parallèles AC, ZD, rencontrant les cercles aux points C, I), j^' sera dans le rapport donné; car l'égalité des angles 1$AC, NZD ressort du premier cas de celte proposition; le reste résulte du second cas de la proposition 3.
G. I'i\oi'osiiio,\. — Si par deux points donnés on tncnc deux [xiralh'lcs dont le rectangle soit donné, et que l'extrémité de l'une soit sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'autre.
Soient donnés les deux points A, H {jig. ii), et de position la droite CE, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire Ali. IMenez à
Fig. M.
cette dernière la parallèle IIG, et soit AB x IIG égal au rectangle donné. La droite HG sera donnée et le demi-cercle HGF décrit sur elle satisfera à la question.
En eiïef, qu'on mène les parallèles quelconques AD, HF, et qu'on joigne GF. en reprenant les démonstrations précédentes, on conclura la similitude des triangles BAD, GHF et l'égalité de AD x HF au rectangle donné BA x HG. Si donc par deux points, etc.
Dans le second cas, soient donnés les points A, B i^fii^- 12), et d(^ position le cercle IFGH. Soient menées AIH par son centre et la paral-
Fis. 15.
lèle BC; soient AI x BC et AH x BO égaux au rectangle donné; le demi-cercle décrit sur la droite OC satisfait à la question.
En effet, si l'on mène les parallèles AFG, BED, les angles HAG, (]BD seront égaux et l'on démontrera l'égalité au rectangle donné de AGxBE et de AF x BD, comme dans le second cas de la proposition 4.
7. l'uoi'osiiioN. — Si par deux points donnés on mène sous un angle donné deux droites dans un rapport donné, et (pie i extrémité de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'extrémité de l'autre.
Soient donnes les points A, B (/^i,^ i3), et de position la droite IGH. Sur BA décrivez le segment de cercle ALB capable de l'angh" donné. Du point A abaissez sur la droite IH la perpendiculaire AG, que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre avec la circonférence en L. Menez
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS
LBE, et soit —j^ dans le rapport donné. .Menez FEDC perpendiculaire
à BR, et prenez sur l'are de cercle un point quelconque K, duquel vous mènerez, par A et 15, les droites KAH, KBD rencontrant en 11
Ali
et D les droites IH, F(",. Je dis (|ue jj^ est dans le rapport donne jr^
Fis. >3.
Car. s'il en est ainsi, les triangles AGH, BIÎD seronl semblahles : donc les angles GAH, EBD seront égaux, ainsi (jue leurs opposés par le sommet KAL, KBL. IMais cette dernière égalité a lieu, puisque ces angles sont inscrits dans le même segment, et il est facile de remonter de l'analyse ii la synthèse.
Si donc, |)ar deux points A, B, on mène deux droites AH, BD, sous l'angle donné IIKD << et ayant entre elles un rapport donné >, si l'extrémité de AH est sur la droite IH donnée de position, l'extrémité de BD sera sur la droite FC, donnée aussi de position, d'après la construction.
Soient maintenant donnés les points A, B ( //g. i4), ot de position le cercle HF; sur AB décrivez le segment de cercle AKB capable de l'angle donné. Soit G le centre du cercle HF; joignez AHG, prolongezla jusqu'à sa rencontre en K avec l'arc de cercle, menez KBE, et soit iyTT dans le rapport donné. Prolongez BE jusqu'en D, en sorte que . ',
soit aussi dans le rapport donné. Le cercle décrit de I) comme centre sera donné de position et donnera la solution de la question.
Si en effet on mène lAF, IB(^, les angles en A et B seront égaux, et
AF
le reste de la démonstration est facile; on voit aussitôt que rrp est dans
l(i ŒUVRES DE FERMAT. (17, is|
le raj)|)orl donné, et (pi'il en est de mênip si l'on prolonge los droites jus(|iranx arcs concaves. Si donc, etc.
Fis- >'i.
S. Piioi'osiTioN. -- si par deux points donnes on mène deux lignes sous un angle donné el dont le reetangle soit donné, ijue l'extrémité de V une soit sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'extrémité de l'autre.
Soient donnés les deux points A, B (fig. i.5), et de position la droite Gl. Snr A15 décrivez le segment de cercle capable de l'angle
donné; menez AU perpendiculaire sur Gl et prolongez-la jusqu'en F. .loignez FH, à prolonger jusqu'en C en sorte qu(* AH x 15G soit égal à l'aire donnée. Le cercle décrit sur la droite BC satisfera à la question. Kn (^ITet, si l'on prend sur l'arc un point quelconque E, et qu'on joigne KAl, VM\), Al x BD sera égal au rectangle donné.
1 18, ini
LIEUX PLANS DAPOLLONIUS.
La démonstration est la même que dans les cas qui précèdent. Soient maintenant donnés les points A, B {/ig- iG), et de position le cercle IKL. Sur AB décrivez le segment de cercle capable de l'angle
Fis. .6.
donné. Menez par le centre la droite ANI, à prolonger jusqu'en G; joignez GB, et prolongez en sorte que AI x BC et AN x Bl) soient éi;aux il l'aire donnée. Le demi-cercle décrit sur CD satisfera à la ([iicstion; c'est-ii-dire (|ue si l'on prend un point quelconque coninu' Il cl (]u'on achève la construction de la ligure, comme ci-dessus, AK X BF et AL x BE seront égaux au rectangle donné. La démonstration est la même que dans les cas précédents.
Ainsi la [»roposition est établie, et le [)remier théori'me d'Apollonius ou de Pappus est éclairci.
H faut remarquer que les cas pour lesquels nous avons indi(iué seulement des demi-cercles donnent en fait les cercles entiers; d'ailleurs les diverses situations des données engendrent des cas multiples qu'on pourra, ii Idisir, déduire facilement des précédents par des raisonnements immédiats.
Pappus ajoute que le lieu plan, sur le(|uel se trouve l'exlrémilé de la seconde droite, est lantôl du même genre, lanlàl d'un ge/ire dijfcrent. O qui est clair : par exemple, dans la proposition I, il est du même genre; car, si la première droite se termine à une droite, la seconde se termine aussi à une droite; et de même un cercle conduit l'iiiMAT. — m. -^
à tin cercle. Diins la premii're partie de la proposition 2, au contraire,
et dans plnsieiirs autres cas, le lieu est d'un genre dilTérent.
Pappus ajoute aussi que le lieu est lanlôi situé de même par rapport
à la /if(/>(' (Iroilc, et tanlàl de façon contraire, (^.es mots par rapport à la
ligne droite n'oUVcnt aucun sens et je pense (ju'il faut les sup[irinier.
.l'explique ainsi ce passage : tantôt le second lieu est placé d'une
manii're contraire au premier; par exemple, si le premier est la partie
convexe de la circonférence, le second sera la partie concave, etc.
Des exemples de cette opposition sont donnés dans les propositions
ci-dessus.
PitoposmoN IF.
« Si I on donne une ertrémitc d'une ligne droite donnée de position, l'antre sera sur une circonférence concai'e donnée de position. »
Avec une jjareille leçon, la ])r()position est Causse; il faut, par exemple, aux mots donnée de position , suhstituer ceux-ci : donnée de grandeur, et le sens sera : si ion donne le diamètre et le centre d'un cercle, l'extrémité du diamètre sera sur un cercle donné de position, (le (|ui est évident de soi et ne mérite pas qu'on s'v arrête davantage.
Proposiiio.n III.
i( .S?, de deux points donnés, on mène deux droites qui se coupent sous un angle donné, leur point commun sera sur une circonférence concave donnée de position. »
C-ette proposition est évidente de soi, car le segment capable de l'angle donné et décrit sur la droite joignant les deux points est donné, comme l'a enseigné Kuclidc dans les Éléments.
PnoposiTioN IV.
« Si, d'un triangle d'aire donnée, on donne la base de grandeur et de position, le sommet sera sur une droite donnée de position. »
dette droite sera une parallide à la base; sa construction et tout le reste se tirent immédiatement du Livre I des Éléments.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS
Proposition V.
« Si une droite est donnée de grandeur et parallèle à une droite donnée déposition, et qu'une de ses extrémités soit sur une droite donnée déposition, l'autre extrémité sera aussi sur une droite donnée de position. »
Soit DE {/ig. 17) une droite donnée de grandeur et parallèle à la droite AC donnée de position. L'extrémité D est supposée sur une
KiR. 17.
droite ^F donnée de position. Si par E vous menez BEG parallèle à AF, elle résout la question.
En effet, toutes les droites, comprises entre ces deux parallèles et parallèles elles-mêmes à la droite AC donnée de position, sont éi^ales entre elles; ce qui est clair d'après la construction même.
Si donc une extrémité de l'une d'elles est sur AF, l'autre sera sur Ht;, comme le veut la proposition. 11 est facile de l'étendre à des cercles.
Soit en effet AB {fig. 18) une droite donnée de position, à laquelle
Fi"
est parallèle NO donnée de grandeur. Soit le point N sur la circoiil'é-
20 QÎUVRES l)K FEUMAT. [30,211
ronce du cercle CNM donné de position. Je dis que le point 0 est sur un cercle donné de position.
Soit E le centre du cercle CNM; je mène le diamètre parallèle à Ali et je le prolonge jusqu'en F, en sorte que CF = NO, la droite donnée. I^a droite CF sera donnée de position et de grandeur; je la prolonge on faisant FH = CD. Le cercle décrit sur FH résout la question, car le point 0 sera sur sa circonférence.
En eli'et, soit le point 0 sur la circonférence du cercle FOP : les droites CN, FO, joignant les extrémités des parallèles égales CF, NO, seront égales et parallèles : donc les angles NCD, OFH seront égaux; mais il en est ainsi, puisque les droites CD, FH, égales (Mitre elles, sont parallèles aux droites NM, OP.
La proposition de Pappus peut donc être conçue plus généralement comme suit :
Si une droite, est donnée de grandeur el parallèle à une droite donnée de position, et qu'une de ses extrémités soit sur un lieu plan donné de position, r attire extrémité sera aussi sur un lieu plan donné de position .
Proposition VI.
« Si d'un point on mène, à deux droites parallèles ou concourantes données de position, deux droites sous des angles donnés, cl dans un rapport donné ou bien dont l'une, plus une droite dans un rapport donné avec l'autre, fait une somme donnée, le point sera sur une droite donnée de position. »
Cette proposition comprend deux parties, dont voici \n première : Soient deux droites AE, AF (^g. 19) données de position et se coupant en A. Du point C, je leur mène deux droites CB, CD sous les
angles donnés CBA, CDA. Soit donné le rapport -rrr- Je dis que le point C est sur une droite donnée de position. Joignez AC, BD; dans le quadrilatère ABCD, on a trois angles don-
nés : ABC, ADC, BAD; l'angle BCD est donc donné. Le rapport ^ est
[■>\,n] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 21
aussi (lomié par liypollièsc, donc le triangle BDC est donné d'cspi'cc, donc les angles (]BD, CDB, donc par différence les angles ABD, ADB. Donc le triangle ABD est donné d'espèce, donc le rapport --r^; mais PP l'est aussi (puisqu'il esl prouvé que le triangle BDC est donné d'espèce), donc \jpr lésera. IMais BA est donnée de position, ainsi (|u^' le [)oint A; donc AC est donnée de position, et si sur cède droite on
Fig. 19.
prend un point quelconque, et qu'on mène de ce point aux droil(!s
données des droites sous les angles donnés, on prouvera (|iii' les
menées sont toujours dans le rapport donné.
Second cas, lorsque les droites données sont parallèles :
Soient les droites CA, CB (fig. 20), sous les angles donnés (;A1).
CBF, et dans le rapport donné. L'angle CNB est donné, comme égal.
Fis. 20.
F Sj B
il cause des parallèles, au donné CAD; donc le triangle CNB est don m
