Soit encore proposée la double équation
.r5-8,r + iG = n, 3a-- -4-/,8,r -(- G4 = D •
La méthode ordinaire (') donne la vaIeura-= iG. Il faut donc substituer .r + iG à a- dans les deux expressions qui, ainsi transformées, deviennent
■t"--^ l'.yx -h 2J6 = □, 3.r'+ \[\'\x + i6oo = n •
On ne peut pas prendre pour différence ix- + \iox + ^it\\, puisqu'il serait impossible d'arriver ainsi à la solution. Que faut-il donc faire? Ce que nous avonsdéjii indiqué et répété : divisez iGoo par ajG et multipliez par le quotient -^- l'expression x- -^ il\x + ?.jG; le produit -j-x- -f- i5oa- 4- iGon avec l'autre expression 3a-'-' + \\'\x + iGdo
donne un système dont la différence sera formée de termes en .r* cl x\ il sera donc possible d'obtenir une nouvelle solution.
(V procédé est applicable à la solution non seulement de la double équation, mais aussi d'autres équations quelconques.
n. C'est un champ très fertile que celui que nous avons commencé à cultiver; car la méthode de Fermât peut fournir une infinité de
(') Billy s'est encore trompé ici, probablement en prenant la sobition du n° -l pour un système où la valeur absolue des cocITicients est la même. Cette solution satisfait ici accidentellement ; mais, en opérant la substitution dans la première expression (la(|uclle au reste est identiquement un carré), Billy a do plus commis une erreur de calcul, puisqu'il aurait dû trouver : .r--i- -x'^.i- + i44-
solutions non seulement pour les doubles équations, mais encore pour les autres. Soit par exemple proposé de trouver un nombre dont le produit par 12, retranclié de la somme de 8 fois son carré et de 8, fasse un cube. Soit a; ce nombre; il faut que 8a;-— 12.^; + 8 fasse un cube. Prenons 1 — x pour racine de ce cube ; on aura
8 — l^x-^-&x^ — a;'= Sj;*— 12^ -h 8, d'où a; =r — 2,
faux nombre qui satisfait à la question. Pour en avoir un vrai, substituons X — ikx dans l'expression proposée 8a;- — 12a; + 8; la transformée sera 8.r^ — 44-^^ + 64 à égaler à un cube. On prendra pour
racine de ce cube 4 — —^(4 étant la racine cubique de G4, terme
connu de la transformée, — x est le quotient obtenu en divisant 44-^'»
terme en a; de la transformée, par 3 fois le carré de la racine cubique 4. c'est-à-dire par 48). En formant le cube du binôme ci-dessus, j'ai
64 — 44-^ H — T^' ^a;'àégaleràla transformée 8a;- — 44-^ + ^4.
d'où je tire x = 2 -%it-- Si je retranche 2, puisque j'ai pris a; — 2 pour
représenter l'inconnue, j'aurai pour celle-ci la valeur -%t- • C'est le
nombre cherché; si l'on forme son produit par 12 et si on le retranche
de la somme de 8 fois son carré et de 8, on obtient le cube — ^,~>
dont la racine est
18. Supposons encore qu'on demande un triangle rectangle dont l'aire, ajoutée à l'hypoténuse, fasse un carré. Je forme ce triangle des nombres a; -f- 1 et a;; les côtés seront 2.x- -h 2.x -*- i, 2a- + i, 2a;- -+- 2a;. J'ajoute l'aire 2a;' -1- 3x- 4- x ii l'hypoténuse 2.r^-+- 2a; h- i; j'ai 2a;' -+- 5x^ -\- 3x -\- 1 A égaler à un carré. En prenant pour racine
de ce carre i -\ — a-, j obtiens a; = — -„- •
Substituons donc ^^ ^ à a; dans l'expression à égalera un carré; l'EBHiT. — ni. 43
nous arriverons, pour la valeur de l'inconnue dans les premières posi-
. , 2673 lions, a — y- •
19. De même, si l'on demande un triangle rectangle dont l'aire, ajonlée ii l'un des cotés de l'angle droit, fasse un carré, vous formerez ("0 triangle comme il a été dit sous le numéro précédent; vous ajouterez l'aire ix^ -\-3x'- -h x au côté 2,r+i. On trouvera .r = — j^-
Substituez donc ,r — 0 i» -i' dans l'expression à égaler à un carré. La transformée sera
'( la valeur de l'inconnue primitive ^-^, d'où le triangle cherché
10988674 G927424 853oo5o "^8624 ' 2458624 ' 2458624 ■
Nouvelle méthode pour la solution des doubles équations.
