Soil encore à résoudre la double équation

i69.i---H ôy^Gx -+- 169 = n , -x- -\- 10a; + 169 t= [j .

On peut en obtenir trois solutions; la première en prenant la dill'érence des deux expressions, qui est i68a;^ + 5736a-, et en la décomposant en deux facteurs dont le binôme aura pour terme connu 26, c'est-à-dire le double delà racine de 169; c'est là la méthode ordinaire. En second lieu, on peut ramener à l'égalité les coefficients carrés de a;^, en multipliant par 169 les trois termes de la seconde expression, comme je l'ai expliqué au n° 4. En troisième lieu, on

1 !■ i / L 2368 I , , peut prendre comme tacteurs ilix et 120? h , dont la somme,

comme terme en v. aura 26x, c'est-à-dire le double de la racine de

169X-. C'est là la méthode de Fermai qui donne la valeur ,r = — sëg"'

23. On pourra dire que celle méthode est ingénieuse, mais inutile, en tant qu'elle procède seulement avec des facteurs trouvés par arlific(î et combinés de telle façon que leur produit donne la différence des expressions à égaler à des carrés et que dans leur somme figure un terme double de la racine du terme en x- de la plus grande des deux expressions. Mais on ne peut faire celte objection que si l'on ignore que c'est celle méthode qui a fourni la solution d'un très beau et très difficile problème, lequel a fait le tourment de tous les analystes et qui serait demeuré sans réponse, si par son procédé Fermai

3i0 ŒUVRES DE FERMAT.

ne ('li( arrivé à délier le nœud gordien. Celui qui accuserait cette méthode d'inutilité peut au reste voir la solution de divers problèmes donnés ci-dessous n"*45, 47, 48, 50. Il est d'ailleurs facile de reconnaître comment on doit former les facteurs en question; il suffît on effet de prendre le double de la racine du coefficient de x- dans la plus grande des deux expressions, et de partager ce double en deux nombres dont le produit fasse la dilTérence des coelficients do x'-. Ainsi dans le premier exemple on prend lo; on le partage en deux nombres dont le produit est iG. On trouve ainsi Set 2; de mémo pour les autres cas.

Après (/lie l'Analyse a trouvé les solutions primitives, on cji obtient de nouvelles en réitérant l'opération.

24. Il arrive assez souvent que dans un problème le calcul conduise h de faux nombres; j'ai déjà montré ci-dessus comment l'artifice analytique de Fermât remédie il cet inconvénient, mais je vais donner aussi un moyen singulier dont les résultats sont innombrables : ce moyen c'est l'opération réitérée; toutefois, pour qu'elle aboutisse, il faut emprunter à l'Analyse les nombres primitifs ii prendre dans la seconde opération.

25. Soit, par exemple, à chercher un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit. Je forme ce triangle des nombres simples a; + i et a;; les trois cotés seront dès lors : ix- + ix -\- \ , 2x -\- \ , nx- -+- ix. Il faut égaler il des carrés, d'une part l'hypoténuse ix- -^ "xx + \ ; de l'autre, la somme des côtés de l'angle droit : 2a;- -+-4^ + 1. La méthode ordinaire donne la valeur a? = -• Les deux nombres générateurs du

triangle seront donc et '-■, ou, si l'on prend les numérateurs

seulement, pour avoir des entiers, — 5 et — 12, d'où le triangle : 169. 1 19.120. J'infère de là que, pour résoudre le problème, il fallait d'abord trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse fut un carré.

en même temps que la différence des cotés de l'angle droit. Cette conclusion résulte forcément de l'analyse qui précède et ce triangle est : 1G9. 119.120, formé de —5 et —12 ou de +5 et -i-12. Je réitère donc l'opération et je forme le triangle cherché des nombres .x + 5 et 12. J'arrive ainsi, grâce à ce triangle primitif, comme on le verra plus clairement sous le n°45, à une double équation qui ne donnera plus de faux nombres, mais bien des nombres vrais.

26. Soit encore à chercher un triangle rectangle tel que le produit de l'hvpoténuse et de la somme de l'un des côtés de l'angle droit et de la moitié de l'autre fasse un carré, après que de ce produit on aura retranché l'aire du triangle. Je le forme des nombres simples i et a; -I- i; les cotés seront x- + nx + i; x"- ^ ix% ix + 1. J'ai donc à multiplier x- -\-ix + 1 par x" -\- 3.r -f- 1 , et à retrancher du produit : x"* + 5a;' -I- Qx- + 8a; + 2, l'aire : x^ + 3a;- + 2a;. Le reste

est à égaler ii un carré; je prends pour ce carré

et j'obtiens a; = — -• Si nous nous arrêtions ici, le second coté du •■ 2

triangle, a;'- -1- 2a;, serait plus petit que zéro et la solution inacceptable. Je réitère donc l'opération en formant le triangle des nombres a; -I- I et 2; les cotés sont dès lors : x"^ -\- ix -\-^; a---i-2a; — 3; 4a; -1-4; lo produit de l'hypoténuse par la somme de l'un des cotés et de la moitié de l'autre, donne, après retranchement de l'aire, a;* -I- 4a;^ -I- 6a;' 4- 20a; -f- I que j'égale au carré (i -1- loa; — a;-)^;

j'obtiens ainsi un nombre vrai, a;= -^- D'après les positions, il faut donc former le triani^le des nombres -r et 2, ou, en prenant des

entiers, 29 et 12. Les cotés du triangle cherché seront 985.G97.696.

Nous serions arrivés au même résultat en substituant x à a; dans

l'équation x'' -f- /[.v^ -+- 6j7^ -i- 6 jt -i- 2 = g. qui dcvionl par cetlo sul»-

slitulioii .r' + 2a;' + -x"^ -i- - x -h -^ — O, soit (7 ^ 5 x — x^] ; d'oi'i 2 2 10 \4 /

x= — En retranchant -> j'ai -- pour la valeur de l'inconnue dans 12 2 ■' lî '

les premières positions, d'après lesquelles j'aurai en conséquence à

former le triangle des nombres entiers 29 et 12.

27. Soit enfin à chercher un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré, aussi bien que la différence des cotés de l'angle droit. Si je prends les nombres .r + i et i pour générateurs du triangle, les côtés seront : .r^ -h ix -h 1; x"^ -h ix; 2X -h 1. Retranchez le dernier 2X -h 2 du moyen x'--h2x; j'ai la différence : x" — 2. qui doit être égalée à un carré, aussi bien que l'hypoténuse x'- -h 2x -h 2. Cette

double équation me donne x = ^; par suite, d'après les positions,

les nombres générateurs du triangle seront — -^ et i, ou, en faisant

disparaître le dénominateur, — 5 et + 12. On pourrait réitérer l'opération pour trouver le triangle demandé, mais on remarquera qu'il est immédiatement fourni par la formation de 5 et 12. On a en effet ainsi le triangle rectangle 1G9.1 19.120 dans lequel l'hypoténuse est un carré, aussi bien que la différence des cotés de l'angle droit.

liachel trouve une impossihiUté là où Fermai donne une solution facile.

28. Je dois avouer qu'à la vérité la méthode ordinaire donne une intinitc de solutions pour nombre de questions, quand, par exemple, dans la double équation, les expressions sont formées de termes en x différents et d'un même terme connu carré; il est aisé, en effet, dans ce cas de trouver autant de solutions que l'on veut; c'est pourquoi Rachet, dans ses remarques sur Diophantc, VI, 24, après avoir donné une solution unique par son second mode de solution des doubles équations, en fournit une inhnité par son quatrième mode. Mais il y a d'autres doubles équations moins maniables pour lesquelles les mé-

TRADUCTION DE LINVENTUM NOVCM. 3W

thodcs ordinaires iic fournissent qu'une snluUoii ou deux au plus; et par suite, le célèbre commentateur dcDiophante dit, au même endroit, qu'on ne peut obtenir (|u'une solution unique lorsque les expressions sont composées de trois termes et que leur difrérence n'en comporte qu'un seul; ou bien lorsque les expressions sont formées l'une de trois termes, l'autre de deux seulement, le terme carré étant d'ailleurs le même de part et d'autre; ou enfin lorsque les expressions sont seulement formées d(^ dtnix termes, l'uiii' d'un terme en œ'' et d'un connu, l'autre d'un terme en .r et d'un connu; il ajoute encore qu'il y a deux solutions lorsque les coelFicicnts de x- et les termes connus sont des carrés. Tout en respectant ce grand matliématicicn, je puis dire que dans tous les cas qu'il a ainsi énumérés la méthode de Fermât procure une infinité de solutions; les exemples suivants voni le faire voir clairement.