MI -EH EV , . , . -^ KZ-EV EV

prouve que — ^ — ~ fïï' '*^' '"^'PP^''^ donne. Donc — ^p — ~FT)' '

,1 .... KZ-EV EG , KZ (11)

rapport <lnnne, et ncissnn : — =^ — ■ = ^- componendo •' wv = pir-

120,27] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 25

Mais, il cause des parallèles KG, BA, on a KL = DG. Donc vicissim :

jT-j^ = pT-, ce qui avait déjà été donné par la construction.

Ainsi est établie la vérité d'une très belle proposition. Il est facile, en procédant de même, d'étendre la construction et la démonstration aux cas suivants, pour un nombre quelconque de lignes. Car, de même que la construction pour deux lignes donne la solution du problème pour trois, la construction pour trois lignes donne la solution pour (|uatre, la construction pour quatre donne la solution pour cinq, et l'application de la méthode se poursuit toujours de même indétiniment.

Proposition VIII et dernière.

<( Si d'un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles données de position, des droites qui interceptent, à partir de points donnés sur les premières, des longueurs dans un rapport donné, ou produisant une aire donnée, ou dont la somme des carrés ou bien la différence des carrés soit égale à une aire donnée, le point sera sur des droites données de position .

Si cette proposition était vraie, elle aurait quatre parties, mais nous n'avons trouvé qu'elle fût exacte que pour le rapport donné. Ecartons donc le reste, pour l'aire produite par les deux droites, pour la somme ou la différence de leurs carrés, et rejetons-le comme faussement inventé ou transporté d'ailleurs.

Je propose donc comme suit le théorème corrigé :

Si d' un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles données de position, des droites (pii interceptent, à partir de points donnés sur les premières, des longueurs dans un rapport donné, le point sera sur une ligne droite donnée de position.

Voici la construction :

Soient AB, GC {fig. 23) les parallèles données. A, F les points donnés sur ces droites, BAH l'un des angles donnés, GFH l'autre. Les points A et F étant donnés, avec les angles à ces sommets, les droites

FtRMVT. — Ml. 4

AH,FH seront données de position, par suite leur point de rencontre H : donc le point G où AH coupe la parallèle GC. Partagez GF en D en

sorte que rr^; soit dans le rapport donné; l) sera donné. Joignez DH,

cette droite est donnée de position. Je dis que la droite DH satisfait

Fig. 23.

à la question, c'est-à-dire que si on prend sur elle un point quelconque I, (|u'on mène de ce point IB, lE, sous les angles donnés, le

rapport des abscisses à partir des points A et F, c'est-à-dire ^pr' est égal au rapport donne, rr^-

Soit (] le point de rencontre de BI et de la parallèle GF. Par construction, IB est parallèle à AH, comme menée sous l'angle donné égal à

HAB. De même lE est parallèle à HF; de plus, à cause des parallèles.

PP .^ ., , , (iC (.1) . . . GC EF

GL = AH; il reste a prouver nu(^ ftt = rrr. ou vicixstm tttv = rrr--

' ' Eh Uh (tI) l)t

Mais cela est évident, car d'une part .-ïj- GC

GC , ,. . Hl EF ^^; de I autre jjî^^-p^,-.

Donc prr; cst égal au rapport donné.

U y a, tant pour cette proposition que pour les précédentes, de nombreux cas, qu'il est facile de trouver et d'ajouter; pourquoi nous y arrêter plus longtemps?

LIEUX. PLANS DAPOLLONILS.