LIVRE H
Proposition L
« Si des points donnés sont joints par des lignes droites à ii/i même point, et que la différence des carrés de ces droites soit une aire donnée, le point de concours sera sur une droite donnée de position. »
Soient A et B (/ig- 2/1) les deux points donnés; soit une aire donnée quelconque plus petite que AB . Partagez AB en C, en sorte (jue
AC- — CB- soit égal à l'aire donnée; élevez la perpendiculaire indéfinie CE. Prenez-on un point quelconque D. Joignez DA, BD. Je dis (|ue AD- — DB- est égal à l'aire donnée.
C'est évident, puisque AD- - DB- = AC= - CB•^
Si l'aire donnée était plus grande que AB-, le point C tomberait en dehors de la droite AB.
A cette proposition on peut rattacher les deux suivantes :
Soient donnés quatre points A, B, C, D (Jig. aS) en ligne droite, et soit AB = CD. Prenez un autre point quelconque N; menez les quatre droites NA, NB, NC, ND. Je dis que
AN^+ND*-(BN^4-ND)=:2AH x lU).
28 ŒUVRES DE FERMAT. [30,3li
Kn effet, menons la perpendiculaire NI, et supposons d'abord que le l)oint I tombe en dehors de la droite AD. Il est clair que, en raison de
Fig. 25.
NI' commun à tous les termes,
AN^ + ND'- (BN^+ NC^) = XV-h ID'- (BP-r- CP).
Mais (II, 4) (•) AI- + DI- = 2DP + AD=+2ADxDI, et par le même théorème BF + CI- = 2DF4-BD- 4- CD- + 2BDxDI + 2CDxDI.
Aux deux derniers termes de cette égalité, puisque AB = CD, on peut substituer 2AD x DI.
Donc
APh- ID^- (BP+ CI)2= AU^- (RD^+ CD') = AD^- (BD^-t- AB-).
Mais(II,4)(')AD^- (AB' + BD-) = 2AB x BD. La proposition est donc établie.
Je n'ajoute pas les autres cas pour cette proposition, ni poui' les suivantes, car ce serait aussi fastidieux que facile.
Si l'on joint un point à trois antres donnés en ligne droite, et fjtie ta somme des carrés de deux droites ainsi menées surpasse le carré de la troisième d'une aire donnée, le point sera sur une circonférence donnée de position.
Soient A, B, C {fig- 26) les trois points donnés en ligne droite. Soit donnée une aire supérieure à 2 AB x BC. Prenez AI = B(], et soit l'aire donnée égale à 2AB x BC -H IV^. De I comme centre, avec IV pour
( ' ) Renvoi aux lilémcnis d'Euclide.
LIEUX PLANS D'APOLLONIUS
rayon, décrivez le cercle VNO. Soit un point N quelconque sur sa circonférence; joignez-le aux points donnés, par les droites NA, NB, NC.. Je dis que AN- + NC^ — NB- est égal ii l'aire donnée.
Kn elTet, joignez IN; d'après la proposition précédente : AN^ -+- NC^ = IN^ + BN= -1- 2 AB X BC. Donc AN= + NC'^- NB^= IN^+ 2ABx BC et la proposition est établie,
PltOPOSITlON IL
c( Si l'on joint un point à deu-x autres donnés et que les droites ainsi menées soient dans un rapport donné, le premier point sera, soit sur une droite, soit sur une circonférence. »
Soient donnés les deux points A, C {Jtg. 27), et supposons d'abord le rapport d'égalité. Prenez en B le milieu de AC; élevez BD perpen-
diculaire; il est clair que, si l'on en prend un point quelconque D, on aura AD = DC.
Supposons maintenant un rapport d'inégalité; soient A, B {Jig. 28) les deux points donnés, ^ le rapport donné. Soit cï = vii" ''^"'''t; AN
otNB prenez la moyenne proportionnelle NO, et avec ce rayon décrivez le cercle OVZ. Soit un point quelconque V sur la circonférence ;
joignez VA, BV. Je dis que ces droites sont dans le rapport ^• En effet, joignons VN, et menons BI parallèle à VA. On a
