Sdit encore, comme troisième cas
ic> -ir X — o, i6 — .ï.- = n.
Substituez x'- -+- Sx; les transformées sont : la [(remièrc iG -i- iS.^' + .r-,
(|ui est un carré; la seconde iG — Sx — x^ à égaler à un cairé, soil
celui de \ — 2x; d'où x = t:- Puisqu'on a substitué a- + Sx, ou [)reu-
dra, oiiur la solution cliercbéc :iSxr-l-(T)=:-rr-
Douze qui'slions conceraanl ce qui a élè exposé jusqu'ici dans celte seconde Partie.
21. Tous les exemples que nous avons donnés sont autant de [iroblèmes résolus. J'en in(li(|uerai un seul : Trouver un nombre, dilférent
l'ERM.tT. — lu. -17
:i70 ŒUVKKS DE FERMAT.
(le '2\, ol toi qu'en iijoiilaiil l'unité ii son simple, à son double et à son ([uiii(u|)le, on ail trois carrés. On (l'ouvera ci-dessus, sous le titre des
I • I • !./■ • ' , «\ 1 1 47OQ'J(>77O7?.0â7S397'264
solutions en nombre indéfini ( n" 8) le nombre -^ — ' ^ / ^ r >~r
satisfaisant à ces c(mditions. 15ien ]ilus, si l'dii veut proposer la (|iies-
lion en nombres entiers, on pourra l'énoncer comme suit : Trouver un
carré entier autre que l'unité, tel qu'en y ajoutant le simple, le double
ou le quintuple d'un certain nombre entier, on ait trois carrés. Mais
j'ajoulerai encore ici d'autres problèmes nouveaux.
Troiwer trois cubes tels qu'en ajoutani leur somme à des nombres proporlionels à ces cubes on ait trois carrés.
22. Prenez les trois premiers cubes i, 8, 27, dont la somme est 3G: ajoutez-la aux produits par.r de chacun des trois cubes; vous aurez
remplacez x par x-~\-^1x, ce qui donnera, jiour transformée de la ])remière expression, le carré (j?-i-G)-. lin achevant l'opération, on
aura —rri comme valeur de 1 inconnue.
Trouver un nombre différent de [\ et tel (jucn ajoutant à cinq carrés en progression géométrique ses produits par 2, 8, 3-2, 20, 3G, o/? ait des carrés.
23. Prenez les carrés i, '\, iG, G/J, 2jG; vous aurez une quintuple équation
n-2.r:=n, 4+8.r=n, irn-32j-=G. 6'i-H2o.r=n, i'iÇ, + z&x=u-
Ramenez ii l'égalité les termes carrés, les transformées des expressions
sont
256 + 5i2.r, 25G+5i2j, 2j6 + r)i2jc, soG -1- Soo-, 256-1-36.1:;
c'est donc comme si l'on avait seulement une triple équation; la mé-
TUADUCTION DK LINVENTUM NOVUiM. 371
llioik' ci-dessus (n" n) (Idiiiic a; = ^J "'. solution do la nuinlunlo
ctiualioii [)0si'(' loul d'abord.
Trouver trois /io/)ihres carres Icis (ju'en ajoulanl leur somme, à chacune de leurs racines on ait des carrés.
24. Choisissez trois earros dont la souiine soit uu carré et tels ([ue la plus grande racine soit supérieure à la somme des deux autres; tels sont /|, 3G, 8i, dont la somme est 121. Prenez pour les trois carrés (•herchés f\x'^, 3().z-, Sio.-'-; leur somme, ajoutée séparément à chacune lies racines, donne
On Irouvera a- = ~ — (voir n" 14); en substituant cette valeur dans
les expressions ci-dessus, on trouvera des nombres carrés, et le pntbli-me sera résolu.
Trouver trois carrés différents tels //ucn leur ajoutant trots nomhres en proportion harmonique, on ait trois autres carrés.
25. Il l'aut avoir soin que le plus grand des trois proportionels haimoniques soit supérieur à la somme des deux autres; on pourra de la
sorte poser
i-H2x = u, 4-t-3.i' = n, iG + G.rT-n;
on, (Ml réduisant les ternies carrés à l'égalité suivant la méthode cidessus,
iG-i-32J = G, i6H-i2.r — n, iG-i-6.r— D-
Remplacez x par j. x'- -^ - x al achevez l'opération comme nous l'avons indique {Cf. n" 14), vous trouverez pour solution de la première équa-
Trouver trois nombres tels que ht différence des deux plus grands soi/ dans un rapport donné à la différence des deux moindres, et que, d'autre part, leurs sommes deux à deux fassent des carrés. On donne le rapport de 3 à i .
26. C'est la question IV, 45 de Diopliante, et il n'y en a pas que cet auteur ait traitée d'une façon plus prolixe et plus embrouillée. Prenez un carré arbitraire, /^ par exemple, ])0ur somme du nombre moyen et du moindre; soit 2 -h x \{', moyen, 1 — x le moiiulre; leur difl'érence sera ■2.r; si on la triple (puisque le rapport donné est de 3 à 1), on aura Gx e(, en ajoutant le nombre moyen, on aura le plus grand ■2-h'jx. Il faut tle plus que la somme du plus grand et du moyen, c'est-à-dire 1 -+- Sx, et la somme du plus grand et du plus petit, c'est-à-dire 4 4- ijx, fassent
des carrés. Remplacez x par — -+- :^.r, de façon qu'en multipliant par (>
(coeiïicient de a,' dans la seconde expression, on ait j'- -t- 4-^. dont la somme avec 4 fera le carré (2 -f- x)-; en multipliant la nouvelle forme de l'inconnue par 8 (coelficient de x dans la première expression), et
ajoutant 4. on aura 4 + ir*^ "*" ^ '^' '^ égaler à un carré dont on peut former la racine d'une infinité de façons. Soit par exemple (2-\-j.vj . On obtiendra une valeur qui, substituée dans l'expression de la première inconnue, donnera — : les trois nombres cberchés seront >
121 lui
Trouver deux nombres tels que leur somme, soit augmentée, soit diminuée de la différence de ces nombres ou encore de la différence de leurs carrés, fasse toujours un carré.
27. Soient - + .r et x ces deux nombres; leur diiïérence, aussi
bien que la différence de leurs carrés, sera -ix. Il faut ilonc que la
THADUCÏION DE LINVENTUM NOVUM. 373
soinmo (les doux nombres, plus ou moins 2.r, fasse un carr»'. On a donc la double équation
Hemplaccz a; par ~.v'^-i-x, de façon qu'en multipliant celle expression de l'inconnue par 2 et en ajoutant l'unité, on ait, d'une part, 1 + 2J7 + j-^ (jui est un carré; de l'autre, 1 — 2.r — .r- à éiçaler à un
carré, soit à (i — 3cr)-; d'où x = ^- Comme on a remplacé x par -x^-h X, on prendra - ( ï ) + ^ = ^> valeur d'où l'on déduira, pour
les nombres cherchés, d'après les positions, ^ et — •
' 1 5o jo
Trouver quatre nombres dont trois soient carrés et tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré.
28. On cherchera d'abord, d'après Uiophante, V, 27, trois cariés tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmiMité de
l'unité, fasse un carré; tels sont -^1 -7-» -^- Ces trois carrés étant i)ris
ib 4 isi
pour le premier, le second et le troisième des nombres cherchés, soit X le quatrième ; dès lors, les produits du premier nombre par le second, du second par le Iroisii-me, du troisième par le premier donnant des carrés, si on les augmente de l'unité, il sulfit qu'il en soit de même pour les produits du quatrii-mc par chacun des trois premiers; on a donc les conditions
^,cH-i:=n, -7-A--t-i = a, -^.r + 1 — n.
Remplacez, suivant la règle, j; par — x- + — ; dans la première expression ^.r devienl J-^ + 2a^ qui, augmenté de l'unité, donne b' carré (a; -\- 1)-; elfectuant la substitution dans les deux autres exprès-
sions, 011 aura la (loiiblc t'([iialion
/ioo „ 800 MOqf) S|()2
3G 3G 73<j 7Jy
(lii les ItTinos iiulépendaïUs de x sont carrés (aussi bien que h's coelticicnls de .r'-); on pourra di's lors la résoudre par la méthode ordinaire, et en déduire la valeur de l'inconnue ou du quatrième nombre eberi'hé.
Trouver un Irianglc reclan gk tel que k produil de l' hypolcnasc par la somme des côtes de l'angle droit soit un carré, aussi bien que les sommes obtenues en ajoutant au carré de l'iiypotcniise, soit le double de celle-ci, soit r un ou l'autre des entés de l'angle droit.
29. Prenez un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré aussi bien que la somme des cotés de l'angle droit (première Partie, n" 45); multipliez par .r chacun des côtés de ce triangle, vous arriverez il ce que vous cherchez.
Kn eiïet, le produit de l'hypoténuse par la somme des côtés de l'angle droit sera un carré; si, d'autre part, au carré de l'hypoténuse, on ajoute séparément le double de celle-ci, puis l'un et l'autre des côtés de l'angle droit, on aura une triple équation, qui se résoudra comme il a été dit an n" 16.
Tromper un triangle rectangle tel que l'on ait un carré, en ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de l'angle droit, soit un multiple donné de V hypoténuse.
30. Soit proposé, comme multiple donné de l'hypoténuse, le double; prenons, pour le triangle cherché, "ix, l\x, 5x. On aura
|/;.1.^--4- 3.r = a, i{il,a;--]-'\x=n, i/i/i.i---l-ioa-= C-
l*]ii procédant comme il a été dit au n" 13, on trouvera x = — — ^j el le tri:
lan^ie cliercJie sera .77 — rj-' 01 — rr' tj — tt' ^ 31ai-i-i 34.! 144 34214!)
THADUCTION UE LINVENTUM NOVUM. Tto
Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un carre en inuUiplianl l' hypoténuse par la différence des côtés de V angle droit, aussi bien qiéen ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de l'angle droit, soit un multiple donné de l'hypoténuse. Soit proposé, comme multiple donné, le double.
31. Prcnoz, pour (rianglo primitif, 1 19, i 20, 1G9, dont riiypotémiso rst un carré, aussi hicn que la didércncc des cot»!s de l'angle droit. Multipliez par x chacun de ces côtés; leur somme sera [\o%x; en ajoutant séparément ii son carré chacun des cotés de l'angle droit et le double de l'hypoténuse, on aura
166464.^^+119,1 — 0. 166464^^-t- laoj — □ , 166 464.2^° -H 338. r = [j;
le reste est facile d'ajuTs le n° 13.
Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un carré en multipliait un des côtés de iangle droit par la différence entre iaire et ce côté, aussi bien qu'en ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des cèités de iangle droit, soit un multiple donné de ihYpoténuse.
32. Prenez (première Partie, n" 53) un triangle rectangle don! un coté de l'angle droit soit l'unité, et d(nit la diU'érence entre l'aire el cette unité soit un carré ('); multipliez par x (diacun des cotés, prenez le carré de, périuii'trc et ajoutez-y séparément chacun des côlés de l'augh^ droit et le multiple proposé de l'hypoténuse; la s(dulioii s'achèvera d'après ce qui a été dit au n" 13.
(') Celle soliilion est cvidciniiiciil erronée; soil a^ = //--hi le li-iuiigle priniilif .siiiiposé où I — - csl un carré; le triangle, ctierciié d'après les indications de Billy, satisfait à la
condition xix — ) = D ; c'est-à-dire que le produit de l'un des colés de l'angle drnii
par la didérencc entre ce cote et la moitié de l'autre (non pas l'aire) est un carré.
376 ŒUVUES J)E FERMAT.
Troiacr un triangle rectangle tel (jne l'on ait un carré en multipliant un des côtés de l'angle droit par la somme de ces deux côtés, aussi bien qu'en ajoutant au carré du périmètre un quelconque des trois côtés du triangle.
33. Prenez un triangle rectangle dont la somme des côtés de l'angle droit et l'un de ces eotés soient des carrés; par exemple, le triangle 'ici, ç), f\\. Multipliez cliacun des côtés para; et ajoutez-les séparément au carré du périmètre; vous aurez
Le problème pourra ainsi être résolu. Il ne faut pas dire au reste ({u'il y ait là une contradiction avec, la remarque des n"" 9 et suivants, d'après laquelle la méthode de Fermât ne s'applique pas au cas oii le plus grand des coelficienfs de œ est égal à la somme des d(!ux autres ; (|uelqu'un pourrait croire qu'il y a encore plus impossibilité lorsque le plus grand coefTicieiit est inférieur à la somme des deux autres; mais du moment oii il y a inégalité, quelle qu'elle soit, le problème est possible, comme tout patient analyste pourra le i*ecnnnaitre.
