TROISIÈME PARTIE
rOMI'KKN.^NT LK l'ROCÉDK l'OUIl OliTENIU DIÎS SOLUTIONS EN NOMBUF. INDÉFINI DONNANT DF.S VALEUP.S CAUr.ÉES OU CUBIQUES A DES EXPRESSIONS OU ENTIIENT PLUS DE TROIS TERMES DE DEGRÉS DIFFÉRENTS.
1. Je traiterai ici particulièrement des expressions comprenant les cinq termes en a-*, .x-'', x', x et le constant; mais, à cette occasion, je parlerai aussi des expressions de quatre termes. Ces termes pourront d'ailleurs être, soit tous positifs, soit entremêlés de termes négatifs; l'objet proposé est de donner à ces expressions des valeurs carrées (|)our celles de cinq termes) ou cubiques (pour celles de quatre), et cela d'une infinité de façons; or, en général, on peut dire qu'il est nécessaire, pour les valeurs carrées, que au moins le coellicient du terme
TUADLICTION DE LINVENTUM NOVUM. 377
en .r'' <iu le terme constanl soit un carré; pour les valeurs cubiques, (|U(' 11' eoelficient du terme eu x' ou le ternie coustaut soit un cube.
l'égaler à un carré une expression composée de cinq termes et où le coefficient de x'' seul soit un carré.
2. Il faut tout d'abord avoir soin que les coefTicients de x'', a--' et xsoient les mêmes dans l'expression proposée et dans le développenienl du carré qu'on lui égale. Pour cela, on prendra tout d'abord la raeiru' carrée du terme en a*^ pour former le premier terme de la racine du (;arré cbercbé ; puis on divisera le coelFicient du tenue en x'^ par le double du premier eoelficient ainsi trouvé, et en multipliant le quotient par X, on aura le second terme de la racine du carré cherebé ; après (juoi on prendra la différence entre le carré du eoelficient île ce second terme et le coefficient de x'^ dans l'expression proposée; on divisera par le (btuble du eoelficient du premier terme, et l'on aura ainsi le troisième terme de la racine du carré cbercbé, celui qui esl indépendant de j:. En égalant le carré de cette racine trinonu" ii rex|)ression proposée, on obtiendra la valeur de l'inconnue. Ainsi soit proposé
en observant les riîgles qui viennent d'être exposées, on prendra, pour le carré à égaler à cette expression,
{x--^ 2x + i) = o-'-l- 4-r'+ 6.r-+ 4-2^-1- '; l'équation donnera x^ ^, et en substituant dans l'expression pnqx)sée, on aura le carré 2.t() (').
( ') Les règles de Billy reviennent, étant proiiosco l'expression
«-.r' -h b.c^ 4- Cl- -t- dx -)- c — C ;"i lui égaler
\ tix^- X-. '— ; = (r-x''^bx^+cx'--\- -^-i—,-! ^.c+ - — -—— — '-■
\ V. « -Kl J 8(î' ()4fi''
Les ternies en c*, .z;^, x"- s'éliminant, on a pour .r une valeur ralionelle,
■'^ ~ •^tt'-\b(\u''-c — //•!) — 8a'rfj' Fermât. — UI. 48
378 ŒUVKÈS J)Ë FEU M AT.
Egaler à un carre une expression composée de cinq termes, et où le terme constant seul soit un carré.
3. Il faut remarquer que dans ce cas, contrairement au précédent, (es ternies qu'on doit rendre égaux de part et d'autre sont le constant et ceux en x otar'. On prendra donc, pour premier terme de la racine du carré à égaler, la racine du terme constant de l'expression proposée ; on divisera par le double de cette racine : en premier lieu, !<• coelficient de x dans l'expression proposée, et l'on aura l(> coefficient du second terme de la racine cherchée; en second lieu, la dilTérence entre le coelTicient dear- dans la proposée et le carré du dernier cocfTicient trouvé : on aura ainsi celui dcir- dans la racine du carré à égaler. En formant ce carré et achevant l'opération, on aura la valeur de l'inconnue. Soit, par exemple, proposée l'expression
io.r'+ 4-*''+ igx'-t- dx + 9 = n ,'
en observant les règles qui viennent d'être exposées, on prendra, pour
le carre a égaler:
l'équation donnera ar = 2, et en substituant dans l'expression proposée, on aura le carré 289.
Egaler de différentes façons à un carré une expression composée de cinq termes, et où le terme constant est carré en même temps que le coefficient de x*.
4. Tout d'abord on peut former la racine du carré à égaler, de façon à éliminer les termes constants, ceux en x et en x\ Ainsi soit proposé
x'' -\- !\X^ + 10X° + lOX + IZIz'Oi ■
Formez (i -+- loa; -h a?-)- = i -+- lox -t- 102a;- + nox'^ -+■ x'' ; les termes de trois degrés disparaissant, il restera l'équation —920;-= iGa;', d'où
X = — '— = J-- En substituant dans l'expression j)i"oposée, on aura
le carre — ;-^-
5. En second lieu, on peut former la racine de façon à éliminer les termes constants et ceux en x et x-. Ainsi soit proposée la mènu' expression
On prendra (i -h lox — f\5x'-)-; en développant le carré et en établissant l'équation, il ne restera que les termes en x" qIx", de degrés immédiatement consécutifs; on tirera donc j:;=-vô; la substitution
donne le carre y^r-^ — 64 009
6. Troisièmement, on peut former la racine de façon à éliminer les termes constants et ceux en x^ et x*. Soit toujours la même expression
.c'+ '\jr^-+- lOj-'-i- 20a- H- I = n •
On prendra (x- -h -ix + i)'- ; il ne restera dans l'équation que les termes en x'- et x; et l'on tirera x= — '\, d'où la valeur carrée 81 pour l'expression proposée.
7. Quatrièmement, on peut former la racine de façon à éliminer les termes en .r', x*, x'-. Soit encore
x' + .'|./-'' + loa-- + 20a; -i- I = [7] .
On prendra (^a;- 4- .i.r -f- 3)^; après élimination, il restera seulement des termes en x ou constants; on en tirera x—i, d'où, pour l'expression proposée, la valeur carrée 3G.
8. Cinquièmement, on peut former la racine autrement que nous ne l'avons fait plus haut, de façon à éliminer les termes constants et ceux en X et x'' . Avec la même expression, on pourra égaler
(1-1- loj; — X-)-,
ct l'on aura x= --) d'où, pour l'expression proposée, la valeur f — ^ J •
9. Sixièmement, on peut aussi former la racine autrement que nous ne l'avons fait plus haut, de façon h éliminer les termes constants et ceux en .r' et x\ Ainsi on pourra, avec la môme expression, former l'équation
d'où ,r = — 3, et, pour l'expression proposée, la valeur carrée 4-
10. Je laisse de coté les autres racines que l'on pourrait former, comme — x- — 2 j; — 3, i — 2<r — x' , x- ~ \ o.r — i , 4 J-t-'^ — i o j; — i , — I — 20- — .r'-; car, si elles donnent des solutions, ces dernières ne tlilTèrent pas de celles que nous avons déjà obtenues.
Ce que sont les solutions dérwées et comment on les obtient,
H. Il y a deux sortes de solutions : les unes, en clfet, sont primitives; les autres, dérivées. Les primitives sont celles que l'on déduit immédiatement de l'expression proposée < comme celles que nous venons de calculer; les dérivées sont celles qui proviennent des primitives; elles peuvent d'ailleurs être du premier degré, si elles sont immédiatement déduites des primitives; du second degré, si elles sont déduites de dérivées du premier degré; du troisième degré, si elles sont déduites de dérivées du second degré, et ainsi de suite indéfiniment. Remarquez d'ailleurs que de solutions fausses on peut en tirer de vraies et inversement, comme on le verra clairement ci-après.
Déduire les solutions dérivées du premier degré d'une solution primitive
quelconque.
12. Ajoute/ à X la solution primitive, avec son signe -i- ou — ; subsliluez à l'inconnue le binôme ainsi formé dans les divers termes qui composent l'expression proposée; égalez le résultat de cette substitution à un carré dont on formera la racine comme il a été dit ci-dessus;
iijdiilcz la valeur qui en viciuira pour x à la solution primitive, vous aurez aiusi la sohiliou dérivée que vous eliereliez.
Soi(, [lar exemple, ii trouver une solution dérivée du premier (l(^gré p<iur l'expression proposée ci-dessus
.r' -H '\ .r^ + lo.r- + 20 j; -t- 1 = Q ;
prenez —3, l'une des solutions primitives; ajoutez-la ii x, vous avez .r — 3, ([ue vous substituez à x dans les termes x'' , /|.r% \ox-, 2o.r, et vous ajoutez le terme constant, comme ci-après :
x'' — i2.i.'''-i-,54-r' — io8.j'-f- 81
-1- \.i' — 0G./-+ lo.S.r — 108
+ lo.i'- — Co.r -t- ()<)
lo.r-
ToUil
13. Celte somme doit être égalée à un carré; formez-en la racine comme suit : x- - 1.^'— 2; il viendra x =^ -; comme on a substitin'"
V — 3, retranchez 3 de -> il reste - comme valeur de x dans l'expressi(ui proposée; la substitution de cette valeur donnera comme résultat
14. On peut encore égaler la même somme au carré de (x- — 1 ox-h-i), d'où X = —-; retranchant 3, reste -^ comme valeur deuilans rexpr<'s-
■>ioii proposée, et celle-ci deviendra
15. Prenez le carré de (2 — loj; — a^'-); il viendra a' = — -^\ relran-
chant 3, vous aurez la s(dution — — qui donnera ii l'expressicm [iroposée la valeur "^ , c est-a-dire ~- ■
16. Quatrièmement, prenez le carré de (2 — loa* — 18a;-); il vien-
(Ira a; = — ^j-^» d (lu, relraneliant 5, vous aurez la solution — -—j-
On pourrait encore former les carrés
mais ils conduiraient à la valeur x = 3, d'où, en retranchant 3, la solution o, qui est illusoire et hors de notre propos.
n. J'ai dit, d'autre part, que l'on avait également comme solution primitive —4; <^'i pci't <^le même en tirer des solutions dérivées, en suhstituant x — 4 à x dans l'expression proposée
ton! comme on a suhsiitué x — Z dans cette expression. Le résultat de la substitution sera
Hn prenant pour carré (.r- —ijx — 9)-, vous obtiendrez la scdution )r-
Le carré ix' ^.z' + n) donnera la solution ^.- Le troisième carré
