I.a diilerencc des doux expressions est — x- —x, et on peut
comme on l'a vu Part. I, n°21 et suiv., la décomposer en deux facteurs
— jjct— a; — ^-^ qui conduisent a la valeur x= .■' ,^ • U après
les positions, le triangle cherché sera en nombres entiers :
19 343 o4Gi 13329, 18732418687921, 4821817400400.
Trouver deux nombres tels que le produit de leur somme par la somme de leurs carrés soit un cuhe.
37. Soient a: et 2 — a: les deux nombres cherchés; leur somme, 2, multipliée par celle de leurs carrés, qui est aa^-— 4-^^ + 4. donne 4a;-— 8a; 4- 8, qui doit être un cube. Formez la racine de ce cube :
2 '^x, et égalez-le à /\x- — Sx -hS; il viendra .2;= — ^- Je substitue en conséquence x — - h x dans l'expression 4^" — 8a- + 8 ; la transformée est 4^^ — 44-^ -+- 125.. le l'égalerai au cube Ui—-^x), et j'aurai ainsi
125 — 44 •^ H F^ — -, ET-F =4-ï^"— 44'2^-t- «25,
d'où X— ^° ""; je retranche de cette valeur -. puisque j'ai substitué 85 184 ■" 2 ' ' "'
X — -; j'ai pour valeur de x dans les premières positions — ^.- Si,
d'après la position pour le second nombre cherché, je retranche cette
valeur de 2, il reste — ^• 21 296
Remarque/, : i" que les numérateurs 2679'^ et 13799 s-itisfont à la question.
3° Que l'on a résolu de fait le (iroblème suivant : Partager le nombre 2 en deux parties, de faeon que le double de la somme des carrés des parties soit un cube.
3" Que l'on peut résoudre de la même façon cette autre (jueslion : Trouver deux nombres tels qu'un multi[)le (|uelconque de la somme de leurs carrés fasse un cube. Ainsi, si l'on demande que le quintu|)le de la somme îles ileux carrés fasse un cube, vous [)Oserez j; et 5 — x pour les racines cbercbées et vous continuerez comme ci-dessus.
Enfin de (Ttte solution on peut déduire également celle d'un tri's beau pr(d)léme : Trouver deux nombres tels (|ue leur dilTérenc(> soit égale à la différence de leurs bicarrés. Si l'on prend en elTet les deux nombres trouvés ci-dessus, 26793 et 15799, et, comme dénominateur commun, la racine du cube produit |)ar la multiplication de leur somme et de la somme de leurs carrés, racine qui est 34 54o, on aura les deux
nombres cliercues ..■ ' et ,,-rh--
Troiwcr deux triangles rectangles ayant une même différence entre leursmoindres côtés, et tels que le plus grand côté de l angle droit de l'un de ces triangles soit égal à i hypoténuse de l'autre.
38. Forme/, le ()remier triangle des nombres a; et i; les côtés seroni .r'--+- r, .r- — I, ix. Doue le second triangle aura x- -\- i comme plus grand côté de l'angle droit, et le plus petit s'obtiendra eu retranchani la diirérence des deux moindres côtés du premier triangle, c'est-ii-tlire x'- — IX — r, ce qui donne 2.x -h 2. Reste à satisfaire à la condition (x- -h i)- -h (2x -h 2)- = U- En développant, j'ai comme somme des carrés ^'' + Gj;'- -f- 8j: -f- 5 que j'égalerai à (j;--i-3)-, ce qui donne
x^ -+- Gx'- + o = .r' -f- 6x'- -h 8x -+- 5. D'où x = -■ •' 2
D'après les positions, en chassant le dénominateur, les nombres
entiers générateurs du premier triangle sont i et 2, mais le premier
m. — Ff.rm»t. 3o
:{94 GÎUVRES DE FERMAT.
csl, iniï'riciiriiu socoiid, en sorte que l'on aurait un nonibro faux (-oinmc coté (lu triangle, ee qui est absurde. Il faut donc, pour remédier à cet inconvénient, recommencer l'opération, en formant le triangle des nombres x -+- 1 et 2.
Les côtés du premier triangle seront donc j:;'-+ -2 a- -h 3;x'--+- 2j' — 3; ^x + 4. et les moindres côtés du second x' -h 2J- 4- 5; f\x +- 12. La somme des carrés de ces deux derniers côtés fait
,r' + 4 .i' + 3o j-- + 1 1 6.r + I Gg,
et doit être un carré. On peut en former la racine de plusieurs façons.
l'renonsf i3-f-^.r — x- ) ; l'équation donner = — -^tf"- Les nombres
entiers générateurs du triangle seront, d'après les positions et en chassant les dénominateurs, — f)7() et 1092. On peut s'en servir comme si tous deux étaient vrais et former le triangle des nombres loi)', et()7r). On aura ainsi les deux triangles
2i5o9o5, 2i38i36, 284028, 2i65oi'j, 21 50905, 2/(6792,
(jui satisfont ii la question.
Troiwer deux triangles rectangles ayant une même somme pour les cotés (le l'angle droit et tels que l'hypoténuse de l'un soit égal/- du plus grand côté de l'angle droit de l'autre.
39. Formez le premier triangle des nombres x -^ i et i; les côtés senuit : x'- + 2X ->r'j.;x- + nx; ix -{- ■?.. Le plus grand côté de l'angle droit du second triangle sera égal ii l'hypoténuse .r-+ 2.2-1-2, et, si on le retranche de la somme des côtés do l'angle droit du premier triangle, il restera -ix pour l'autre côté du second triangle. La somme des carrés des côtés de l'angle droit de ce triangle fera dès lors
TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 3!tô
Je régale au carré (jr 4- ua* + /|)'- = a;' + /|a;^ -I- 12a;- + iGj; 4- 16; il vient .r = •
Je siiljstiliierai, par suite, x à x dans I expression
.r'-f-4.r'-Hi2,r'+8.r+ 4;
, , p . , j „ la ., 2() lOQ , • I». 1
la Irarisiormeo est x — ix -\ x- •- x a ~ et le I oL'alerai au
carré i-^ '^x + x-\ ; l'équation me donne a? = ^; si j'en retranclie
- I j'ai -^ pour valeur de x dans les premières positions. Par consé-
quent, en nombres entiers a; 4- i et i deviennent, si je chasse les dénominateurs 2() et 2() qui engendrent le premier triangle cherché iSiy, iGj, ihtS. On en déduira le second : ij2j, iny, lÔG.
On peut arriver autrement à la solution en partant de la valeui'
.r = trouvée en premier lieu. Si on la substitue dans les expressions X -h I et I , on aura en entiers : — i et ■>.. On prendra dès lors comme nombres générateurs x — i et 2 et l'on recommencera l'opération. Les côtés du premier triangle seront a;'- — 2a: 4- '> ; x- — 7.x — 3 ; /4a; — 4 ; les côtés de l'angle droit du second : x- — -ix 4- 5 ; !\x — 12, la somme des carrés de ces derniers fera a:" — 4a"' 4- 3oa;-— r i()a'4-i(jr)
et on l'égalera au carré ( i3 — --^a' 4- x''\ ; d'où x = -„ • Dès lors, en
entiers, a; — i et 1 deviennent 29 et 2('), c'est-à-dire les nombres trouvés ci-dessus et conduisant aux mêmes triangles.
Trouver un tridtiglf rectangle dunl l' hypoténuse soit un carré, et tel que la somme de l'un des côtés de l'angle droit et d'un multiple donné de l'autre côté soit également un carré.
40. Soit 2 le multiplicateur donné. Formons le triangle (dierché d<'s nombres x et 1; les côtés seront a-' 4- i , a-^ — i , 2a-; ajoutons l\x, double du dernier côté, au premier côté de l'angle droit; il vient ar 4- .\x — I qui doit être un carré aussi bien que l'hypoténuse a-4- 1 .
39f) (EUVRES DE FERMAT.
La (lilïï'ronco do ces doux cxpn^ssions est 2 — ^x, ot l'on (roiivora, par
snito, la valoiir a:" = — • Mais .i- tloil ('ti'c plus t^raiid (ni(> l'uiiito; il faut
(Idiic r(>cominoiic('r ropcralion. on jironant pour nombres générateurs .»■ + 5 et I 2.
Los oùtos seront : .r- + lo.r + 169; x'^ -{- lox — 119; 24.^-1-120. Ajoutons au coté intermédiaire le double du dornior, c'est-à-dire /jS.r -I- 240; il vient x'- -+- 5iSj- +121 (|ui doit être un carré aussi bien que l'hypoténuse .r'- -1- loa; -+- iGt). Egalons à un carré le produit do ces deux expressions, soit .r^ + G8j;' -f- 870a,'- -1- 1 ioi2.r -+- 20449. «"t f(>''-
nions ce carre : if\5 -\ ^—-x — ~ — x^ ; on trouvera
Los nombres entiers formant le triangle seront 2 i4j 082 34i 079296 ot 368045 54744*^320; il est facile de le calculer.
Trouver un bicarré tel que son triple, ajouté à un autre bicarré que l'unité, fasse un carré.
41. On demande (|ue le second bicarré soit dillerent d^' l'unité, parce qu'autrement la question serait tro|) facile, puiscjue l'on a 3 X I + I = 4 t^t 3 X 16 -I- I = 49- Je prends pour racine du bicarré cherché le nombre x — \ . Son i)icarré est x* — 4-^^^ + 6a" — l\x 4- 1 . Triplant et ajoutant^;', j'ai \x'' — 120;'-!- \'6x'- — 12a- -1- 3, que j'égale
an carré ( 20^'- — 3 j- 4- j\ , d'où .r = -r-- D'après les positions, on
nombres entiers, la racine du bicarré sera 3; en triplant ce bicarré, 81, et on ajoutant le bicarré 14641 du numérateur 11. on aura 1^1884, c'est-ii-dire 122-.
On peut aussi prendre le double de 3, c'est-à-dire 6, tripler son bicarré et ajouter 22' (bicarré du double do ii); on aura 238 i44 '"i '|88-.
De (iH'ino, on triplant 3 ot i i, ro (jui donne 9 et 33, 3 X 9' + 33'' = I 2o5 604 r= 1098- ; cl ainsi de suite indélininienf .
Trom'cr un triangle rectangle tel que l'on ail un carre en ajoutant le carré de l' hypoténuse à un multiple donné de Faire.
42. Soit 2 le nuilliplicateur donné. Formons le (riani^de des nombres j; et 1; les côtés seront: x-+\;x-— i; 2j-; le carré d(^ l'hypoténuse esta;* -f- ix"^ -\- i; en ajoutant le double de l'aire, c'<'st-à-dirc 2a;' — ix, yMx''-\-ix^-\-ix-—'2,x-\-i que j'éiçale au carré (.2'^ + .2" -t- -
vient a; ^ y; mais, cette valeur n'é(ant pas supérieure ii i, on ne peiil former le triangle sans tomber sur des nombres Taux; il faut doiii' recommencer l'opération en substituant x -\~ - [i x dans l'expression
égalée à un carré.
La translormee est x^ -+- 3j*' + -^x- ^a; h — r^ ((ue 1 égalerai an
8 lO 25b ' •■ °
carre (~(. — \x-\ ^^r- . Il vient (') x= -, — —; ajoutant -, . a
\iD 26 2197 / -' 20949^20 •' 4
cause de la substitution, on aura, comme valeur de. r dans les premières
positions L — ~ — r^- Les deux nombres générateurs du triangle rectangle
seront donc en entiers 6437456 et 5237280. Il v a un cas uni(|iic pour lequel le problème est impossible ('-).
Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en retranchant l'aire du carré de l'un des côtés de l'angle droit.
43. Formez ce triangle des nombres ,r — i et 4; b'^ cotés seroni : ■ic' — 2.r + 17; .V- — IX — i5; 8a; — 8. Kn retranchant son aire,
(') Les nombres (Hii suivent sont cnlacliés d'une erreur rie calcul; il faut corriger
■'• = ) ce nui pour les nombres ^cnéralcurs du triangle donne G 85q o50 el
5237280, ou en nombres niinimi, 571GG3 el 430 44o.
(*) Celte rcmar(|ue parait se rapporter au cas où le multi|)licateur donné est 8.
:i!)8 (KUVHES DK F i: Il M AT.
'[.f' — ]-2.f- — "»-2,r H- ()0, (In carrr du second cuit', c'csI-à-diiM' de r" — '\.r' — -li'}.!-- -hOo.i- -h'.-i') , il reste .i-' — S.r^— i '[.Ï---+- 1 i a./'-i- i(')j, ii
eLÇidei'ii lin ejirré, soit à {■!''— '[i' — ii)'. Il vient r = -■ Je snli-
-.lilne n;n' snilc .;• '- dans l'expression it éL'aler à nii earré ; la Irans-
Inrrnee est .i' — ><S.r'H ^ .r- .r H -^ • Je I eLMle au carre
.;■-— i<).r ,~ ) • il vient .r = --j^ ; SI le relianclie — a cause de la
\ • '] J ■ ib.) •' ■'■
-^nlisliliition, pnis l'unité, d'apiès les |)(isiti(ins, les niunhres i^énér;;lenisdn liian!j;le rectangle seront en entiers (iooi et j.y.^o. Le trian;^le cliercllé sel") '|i2in'|()i, '^xiSi j(Jor, 'ij ')l>.\ A\n.
TRADUCTION
DU
COMMERCIUM EPISTOLICUM
Dk WALL I s.
