T ^ 6oa;-rr 4, d'où a

Le triangle cherché a donc pour côtés -^> -^1 ^) et il satisfait à la

condition proposée. Cette question a été omise par Diophantc après ses problèmes VI, 10 et H.

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côte de l'angle droit soit un carré et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carré (').

34. Soit 3 lp multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres ;r + I et I ; les côtés seront x- -^ ix -{- 2, a;- + aa-, ix -\- 1. Multiplions ce dernier coté par 3 et ajoutons le produit, Ga? -1- 6, au côté intermédiaire, il vient j:- 4- Sa- H- 6 qui doit être un carré, on même temps que le côté intermédiaire. Faites le produit de cette somme, a?-*-)- 8ic 4- 6, par le côté intermédiaire, a;- -t- 2a;; vous avez

à égaler à un carré, soit à

(x-+5x ) =.r'4- iox'-4- 22J?'— i5j" -H ^•

Il vient ic = — • 9

D'après les positions, le triangle cherché sera en nombres entiers : 3i3, 25, 3 12. La même solution peut être obtenue par la double équation

a.-^+ 8,r + 6 — D, x''--\-ix = \2-

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l' angle droit soit un carré, et qu'en en retranchant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carré.

35. J'ai déjà donné une solution de ce problème (Part. 1. n" 47), mais par une autre méthode. Soit donc proposé de retrancher du côté qui est carré le triple de l'autre côté de façon à obtenir un carré. Prenons comme triangle primitif celui qui vient d'être trouvé pour la question précédente, savoir 3i3, 2.1, 3 12, formé des nombres i3 et 12.

Formons le triangle cherché des nombres a; — i3 et 12; les côtés

(') Cf. Part. I, n"46.

seront X- — 260; + 3i3; x'- — iGx -t- 25; 24^-' — 3i2. Retranchons du côté intermédiaire le triple du dernier, il reste a;'- — 980: + 9G1 qui doit être égalé à un carré, aussi bien que le côté intermédiaire X- — iGx -t- 25. Égalons en conséquence à un carré le produit de ces deux expressions, savoir x'' — 124-2''^ -f- 3534^;-— -i-j l^SGx -^ 24025,

et formons la racine de ce carré : x- J-^x -h i55. De l'équation

on tirera a; = ,, ^ ,, — ; les nombres a; — i3 et 12, si 1 on chasse les 618370

dénominateurs, deviendront 23542921 et3 82o44*>; et en formant de

ces nombres le triangle demandé, on aura les cotés

568 864 87 1 oo5 84 1 , 539673367418641, 179888634210840, satisfaisant à la question.

Trouver un triangle rectangle tel que i hypoténuse soit un carré et qu'en retranchant d'un des côtés de l'angle droit un multiple donné de l'autre côté, on ait un carré. Soit 2 le multiplicateur donné (').

36. Prenez ic + i et i comme nombres générateurs du triangle; les

cotés seront : x'- + ix -h 2; x--h ix; ix + 2. On devra donc avoir

x--\-2x + i—n et, en retranchant du coté intermédiaire le double

du dernier coté, x'- — ix — 4=n. Cette double équation donne

a; = — • par suite x -{- i et 1 deviennent et — , ou, en ne pre-

nant que les numérateurs, — 5 et 12, dont on forme le triangle primitif 169, 1 19, 120.

Il faut dès lors recommencer l'opération, en prenant pour nombres générateurs du triangle a; — 5 et 12; les côtés seront : x- — ioa;-h 1G9; X- — loa-- — 1 19; l'^x — 120. Si l'on retranche du côté intermédiaire le double du dernier côté, soit [\6x— 240, le reste x^ — 58a; + 121 devra être un carré, de même que l'hypoténuse x"^ — \ox + 169. Egalons à un carré le produit de ces deux expressions, c'est-ii-dire

(') Cf. Part. I, iiMS.

a:' — 68a;^ + 870a;-— [1012a: -4- 20449 et formons la racine de ce

carre : i43 7^ a- + a;-; il viendra a;= .^7-. • Mais nous pouvons

' itfi 40040

aussi suivre une autre voie, en ramenant les deux expressions à avoir un même carré pour terme connu, on aura

1^^2??^^ + ,69 = n el .r^-iO:r + 169 = 0.

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