LETTRE VI

Kknim.m Dir.Dv a .)oll^ Wali.is.

Tm'.s iioNORK r.T illijstue Monsieur,

La lettre que vous m'avez fait la faveur et l'bonneur de m'écrire le G juin est arrivè(\ pour moi dans cette ville quand j'en étais absent, et, immédiatement après mon retour, j'ai été pris d'une maladie (reste d'une plus forte que j'ai eue à Poitiers) et de la sorte empècbé jus- (|u'à présent de vous adresser ces humbles remcrcîments et de m'acquitter des respectueux égards que je vous dois. Et maintenant que je suis hors d'alfaire, je me trouve dans la crainte de rester bien audessous ou de ce que je désire ou de ce que je dois faire. Car, à considérer que la mesure de toute civilité ou reconnaissance est à prendre, soit de la dignité de la personne qui la rend, soit du mérite de celui qui la reçoit, je trouve de part et d'autre une disproportion si énorme (pour le cas qui se présente à moi), qu'il n'y a ni obséquiosité de langage, ni politesse d'expressions qui puisse en faire la balance, .le ne m'embarquerai donc pas moi-même dans cette tâche impossible; mais, voyant ([ue c'est simplement votre bonté qui vous a disposé à être ainsi bienveillant et favorable pour moi, j'aurai recours à celte même bonté, en vous suppliant d'accepter la profession que je vous fais ici en toute vérité et sincérité, que, de même que j'honore très hautement vos grands talents et mérites, ainsi que les nobles productions de votre puissant et savant esprit, qui fait de vous l'honneur de notre nation et l'envie de toutes les autres, de même je vous al'tribue le

COMMERCIUM DE WALLIi^. Ml

droit de me commander toujours tout ce (jui pourra dépondre d(! moi pour votre service et en toute occasion je l'accomplirai avec une aussi prompte exactitude ([ue vous pouvez le désirer du plus dévoué ami el serviteur que vous ayez.

Ma santé ne m'a pas permis d'écrire à M. Format jusqu'à hicr(') (jour de poste pour Toulouse); je lui ai d'ailleurs envoyé alors copie de la lettre ((uo vous m'avez adressée. Ce que je recevrai do lu! on retour, je vous en donnerai aussitôt connaissance, et je me considère comme très heureux et très honoré d'élre l'intermédiaire de la communication (mtre deux aussi grands personnages. Je compte que M. Wliito vous enverra la copie de la dernière lettre do M. Fermât à moi (-), copie que je lui adresse maintenant pour qu'avant do vous la l'aire parvenir, il la montre à Mylord Urouncker, dont il y est l'ail mention. Je crois assez que les lettres de Mylord n'ont pas été hien traduites à M. Format. Mais quant à son doute, que la solution de son problème par Mylord ne serait pas bonne, parce qu'il l'a traité à la légère, ce n'est pas un bon argument, comme M. do Frenicio l'a montré par expérience. Car, ce même problème lui élant montré comnu! un défi à tous les mathématiciens de l'Europe, il donna immédiatement à la personne qui le lui apportait quatre solutions (en quatre nombres dilTérents), et il lui en envoya six autres le lendemain matin et, de plus, à résoudre un problème tiré de son fonds, problème oii l'autre trouvera, je crois, une rude besogne pour lui.

Je ne dois pas prendre congé de vous, avant de vous avoir dit un mot ou deux de votre digne collègue, le Docteur Ward. Il y a déjà ([uob|ue temps que j'avais entendu parler di' son livre contre M. Ilobbos, et M. White l'avait envoyé par ici pour moi, pendant que j'étais on Languedoc; mais je no l'avais pas vu jusqu'à présont, où je viens do le dévorer d'un bout à l'autre avec beaucoup de plaisir et do contentement. Seulement, là où il lui a plu do parler avantageusement do moi au delà do mon mérite (excessivement au delà), le sang m'a

(') Maidi 3i juillcl ri"/);.

(-) N" 8:j (Je la Correspondance de I''eriiiai, L. Il, p. ili-

monté aux joues; j';ii rougi de honte de ne pouvoir répondre à l'idée qu'il éveillait de moi, et la honte étant une sorte de chagrin, vous croirez aisément que ces éloges immérités doivent m'ètre pénibles. Pourtant, ii vous confesser la vérité, je ne peux pas me sevrer tellement de la vanité que je ne sois ému et charmé (et cela très profondément) par tout ce que dit favorablement de moi un homme si instruit et si excellent.

Je terminerai ce point (jui le concerne en vous suppliant de lui olfrir mon très humble service (car, je pense, vous le voyez souvent), avec de très vifs et respectueux remercîments pour son excessive, civilité à mon égard, comme aussi avec l'assurance que je l'estime et honore de tout mon cœur. C'est un illustre triumvirat que vous deux et le Docteur Wilkins exercez en littérature et en tout genre de mérite. Vos noms sont fameux au loin; j'entends parler de vous de divers côtés, mais jamais avec plus d'abondance ou plus d'affection que par M. White, que vos bontés ont rendu entièrement vôtre et qui l'exprime amplement en toute occasion. Mais je vous détourne trop de vos grandes et multiples occupations; je vous en demande instamment pardon et vous assure que je suis et me montrerai toujours.

Illustre Monsieur,

Votre très Jiumble et très obéissant serviteur,

Ki:nelm Dicdy.

Paris, le i"' aoùl 1(07.

LETTRl*: VU.

.loiiM Wallis a Ke.nelm Di(ir.v.

TnKs Noni.K MoNSiEun,

Sur le vu de votre lettre si courtoise du i''' août, que j'ai eu l'honneur de recevoir il y a deux jours, il n'est pas aisé de dire combien je me suis trouvé surpris, sachant combien peu j'ai mérité d'une si noble

COMMEUCIUM DE WALLIS. 413

main et quelle chétive part m'était due de ce que vous vous êtes plu à m'attribuer si libéralement. Je fus honteux, je l'avoue, de penser combien peu je pouvais prétendre à cet honneur que vous me faisiez et j'aurais profondément rougi, si la soudaineté de la surprise ne m'avait pas autant stupéfait. Et quand j'ai pensé à vous répondre, j'ai trouvé que vous m'aviez prévenu de telle sorte, en disant tant de ce (jue je devrais vous dire, qu'à moins de transcrire et de vous retourner vos propres mots (de meilleurs, je ne pourrais), il ne me reste rien à répliquer. Et même je n'oserais pas, de peur de profaner, avec ma plume trop rude, ce langage, que je ne puis prétendre à imiter. Si vous vouliez seulement me faire assez de faveur pour relire attentivement la copie de votre propre lettre, et en interpréter la plus grande partie comme dite par moi en reconnaissance de ces politesses que je ne pouvais mériter et en désaveu de ces mérites que je ne puis m'attribuer, vous y trouveriez une meilleure réponse, en un langage plus convenable à votre noble personne, que vous ne pouvez certainement l'attendre de moi sous aucun rapport. Car, quoicjue je ne puisse me vanter d'aucune adresse ii la paume, je sens très bien que je ne puis souffrir, fût-ce au plus grand risque pour moi, qu'un langage si obséquieux, de telles expressions d'obligeante bonté, restent devant moi, sans que je les retourne à la môme main dont elles me viennent; et, quoique je ne sois pas capable de les retourner avec cette grâce et cette dextérité qui ont accompagné leur envoi, je vous supplie humblement de croire que ce n'est pas par défaut quelconque de réalité d'affection ou de bonne volonté que je reste on dessous de ce que je dois il quelqu'un que j'honore autant.

Je dois avouer que je n'ai pu sans ressentir une agréable satisfaction (^ricque cniin mihi cornea fibra est) (') me voir moi-même si hautement honoré, malgré mon indignité, sous d'aussi beaux traits tracés, ([uoique si peu ressemblants, par une main si excellente; ainsi parfois les dames se plaisent à voir leurs portraits les flatter. J'en aurais été

('; « Jo n'ai pas des enirailles de corne «.

M\ ŒUVRES DE FEllMAT. - TRADUCTIONS.

(•xtrémemcnt fier, sans la conscience que j'ai du peu de ressemblance de ma propre personne; car l'autorité du si galant homme à qui j'ai cette obligation est capable de donner crédit à son opinion sur moi.

Dès le retour ici des deux autres personnes auxquelles vous voulez bien m'unir dans votre bonne opinion, le docteur Wilkins et le docteur Ward, je leur ferai connaître combien ils vous sont redevables de l'honneur que vous leur faites. Pour le moment, je puis seulement, d'après le grand respect que je sais qu'ils ont pour vous, vous assurer (ju'ils sont entièrement vos serviteurs. FA nous devons tous nous reconnaître extrêmement endettés envers iM. White qui s'est plu, non seulement ii juger si favorablement de nous, mais encore à nous représenter à vous sous des traits assez flatteurs pour (ju'ils aient obtenu une place si avantageuse dans votre opinion.

Le problème dont vous parlez, proposé par M. Fermât comme défi •1 tous les mathématiciens de l'Europe, est, je suppose, celui dont j'ai reçu de Lord Brouncker une copie en ces termes :

(Ko(> Correspondance de Termat, n" 7'J B, t. II, p. 333; t. III.

p. 3ii.)

A ce problème je ne donnai, pour le moment, d'autre solution que :

Le seul el même nombre \ salis/ail aux deux demandes; j'ajoutai d'ailleurs, comme renvoi, un autre problème de même nature, que vous trouverez ii l'essai, si je ne me trompe, aussi difficile que les deux de Fermât :

Trouver deux nombres {voir plus haut, p. 4o4. lignes iG à 19) ... couple semblable.

D'ailleurs j'ajoutais que je regardais des problèmes de cette nature, dont il est aisé d'imaginer un grand nombre en peu de temps, comme demandant plus de travail qu'ils n'offrent d'usage ou de difficulté.

Depuis lors je n'y ai pas davantage repensé ;*car je fus précisément alors obligé de m'absenter, par la mort d'un ami intime, et, avant mon retour, j'appris que Mylord Brouncker avait résolu les deux questions et aussi une troisième sortie de la même main et à laquelle.

COMMERCIUM DE WALLIS. /»lo

laissant aller ses premières demandes, M. Fermât paraissait s'attacher davantage, comme plus importante que les précédentes. Mais ce problème ayant été reçu et ayant trouvé réponse, avant que j'en eusse eu avis, je regardai comme inutile pour moi de m'occuper d'une chose déjà faite. Ce qu'était la solution du dernier problème par Sa Seigneurie, je ne suis pas capable de le dire, ni davantage ce qu'était le problème lui-même; car je n'ai copie ni de l'un, ni de l'autre. Mais je connais si bien Sa Seigneurie et sa dextérité toute spéciale en choses de cette nature, que j'ai une très forte présomption en faveur de l'exactitude avec laquelle il a du procéder en cette affaire.

Quanta cette autre lettre de M. Fermât ii vous-même, de laquelle vous m'informez que je puis attendre une copie de M. White, elle ne m'est pas encore parvenue; il est possible qu'elle se trouve maintenant entre les mains de Mylord Brouncker, ii qui elle devait être communiquée en premier lieu. Je ne puis que vf>us olfrir, pour cela comme pour toutes vos autres nobles faveurs, mes très humbles remerciments, n'étant pas capable de vous donner quelque revanche qui vaille; mais vous n'avez comme récompense que la conscience de votre généreuse inclination à combler de faveurs ceux dont vous ne pouvez attendre aucun retour.

J'ajouterai seulement quelques mots avant de baiser vos nobles mains. Ce n'est rien (|ue ceci : puisque vous avez bien voulu vous donner la peine et ;i nous l'honneur, d'établir communication écrite entre .Al. Fermât et moi, je n(! regarderai pas comme tout à fait incongru d'ajouter ici un théorème ((ue, si vous le jugez à propos, vous pourrez lui envoyer à démontrer; non pas en défi, ni comme une matière de difficulté extraordinaire, je ne le prends pas pour tel; mais la solution, s'il ne la connaît pas déjà, lui suggérera probablement un joli ensemble de spéculations (|ui seront peut-être bien venues pour lui. Voici ce théorème :

Soit un tronc de pyramide ou de cône, limité entre deux plans parallèles, tel que la plus grande base soit égale au carré de la

'lie GÎUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

droite A, la plus petite an carré de la droite K, et dont la hauteur soit F. Je dis que, si avec A et E (ou leurs égales) comme cotés, on construit un angle de 120", qu'on complète le triangle et qu'on y circonscrive un cercle, le carré du rayon R de ce cercle multiplié par la hauteur du tronc, (R'F), donnera le volume du tronc.

Quant à la démonstration, comme tout ce en quoi je puis jamais être capable de vous servir, vous pouvez la demander à votre gré à celui qui réputé à grand honneur d'être et de compter pour,

Très noble Monsieur,

Votre affectionné et très humble serviteur,

John Wallis.

Oxford, j/ij seplembi-c 165;.

LKTTRE VIII-.

VicOMTR Brolncker a Sir Wallis.

.l'ai reçu hier, clarissime professeur, votre lettre du 5 courant {'), comme aussi celle à Sir Kenelm Digby que je lui ferai parvenir le |)lus tôt possible. Quant à celle dont vous me parlez comme envoyée par Sir Kenelm Digby à M. Whitc, pour nous la communiquer, je ne l'ai pas encore reçue et je n'en avais jusqu'alors eu aucune connaissance. Dès que je l'aurai entre les mains, j'aurai soin de vous la transmettre.

En attendant voici la troisième question de Fermât que vous me demandez, et aussi le précis de la réponse que j'y ai faite; quant au texte même, je ne puis le reproduire, n'en ayant retenu à part moi aucune copie, comme je l'aurais fait, si j'avais pu croire que M. Whito enverrait cette réponse telle quelle. Vous pourrez, si vous le jugez ii

(') Celte leUi-c manque.

COMMERCIUM DE WALLIS. Ml

propos, transniottrc la solution en latin, pour(|iio la lani^iic ani,Mais(î ne suscite plus de nouvelles plaintes ou de nouveaux embarras.

Tout en vous remerciant de vos nouvelles faveurs, aussi bien ([ue des précédentes, je veux vous dire combien je suis vraiment,

Cdarissime Professeur,

Votre ami très lidide et votre très liumble serviteur,

BuOlNC.KF.Ii.

I l'-ii septembre \G5-.

L'c'cri/ (/(' M. Fcr/tuU élail ainsi conçu : (Je ne l'ai reçu (iaillcars (jhc plus lard , la Irltrc prècèdenh: n'en contenant que la dernière partie, c'est-à-dire l'énoncé même du problème).

(]'oir la Correspondance de Fermât, n" 81, tom(> II, pai;'e 'i'V| ; tome 111, page 3iy..)

LETTUR l.\.

John Wai.i.is a Kenei.m Dir.iiv.

Tr.i'S NoisLF. Mo.Nsuau,

Après vous avoir envoyé ma dernière lettre, datée du jî septembre, j*ai reçu du très honorable Mylord Vicomte Brouncker, avec la solution qu'il eu a donnée, le problème que M. Fermât lui a envoyé, ("omme il se peut faire, ainsi que vous le soupc^-onne/, que cette solution ait été mal exposée h M. Fermât, je crois bon de la reproduire ici, pour l'offrir avec cette lettre à Votre Seigneurie.

l'roblèine de M. Fermai.

Etant donné un nombre (|ue!c(>iu|ue non carré, il va une intinilé de carrés déterminés dont le produit par ce nombre, étant augmenté de l'unité, fait un carré.

Exemple :3x iG + i = /i9 = 7X7.

On demande la règle générale pour trouver les carrés de cette sorte.

Kebmit. — m. •>>>

^il8 ŒUVni:S DE FERMAT. - TFÎADUCTIONS.

Voici doux l'oglcs de ce genre : la première est tle Mylord Vicomte Hroiinckcr.

Soient /< un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier ou fractionnaire); c/ un autre carré quelconque (entier ou fractionnaire) dont la racine soit /•. Soit enfin d la différence entre c/ et /;, à savoir soit y — n, soit n -- c/.

Hi-c.i.i'. : ^Y ~ Vrf) ^^^ ^"^ nombre carré, dont le produit par /?,

'. • <- 1 1» •«■ P-. • 47 t\qii -^ d-

etant augmente de I unité, lait un carre, n-' -+- 1 = -'—,.,

En elfet :

'l 7" -^ (l- !\qn -^ q"- ~ 1 (fil -h- « ' q"' 4- iqn -(- « - / 7 "I- " \ '

d- </- — \qn H- /(■' '/*'" ^i/w -+- «- \ q — n }

La seconde règle, qui est de moi, est un peu plus générale quant à la forme du procédé; mais elle revient au même, quant aux nombres à trouver.

Soient tt un nombre donné quelconque; a un nombre quelconque arbitrairement cboisi; </ un carré quelconque et m son quotient par n; p un autre nom!)re quelconque; enfin f/ la différence (en valeur

absolue) entre -,- et pu.

llùcir, : -rr est un nombre carré dont le produit par n, étant aug-

., , ,, ■,./.•, . ma nian-\-d-

mente de 1 unité, tait un carre, n-— H- i — — s,

En cflct :

,, ,.- , -<- - nian -v- p- n- / f- pu \

man -^ d- ifayo- ■.', ./ 4/^ l

ibp- 2 ^ l\p ' '

Il y a lieu de remarquer ce que Mylord Vicomte Brouncker a ajouté à sa solution.

Au sujet des deux premières questions de M. Fermât, il a observé que non seulement le nombre i y satisfait également, mais aussi (au cas où les fractions seraient admises) le quotient du nombre i par la

COMMEIICIUM DE WALLIS. V19

sixième puissance de tout nombre entier; en eiïet, ce quotient est à la fois carré et cube et il n'a aucune partie aliquofe.

D'autre part, la première question est satisfaite, non seulement par le nombre 3\3, indiqué par M. Fermât, mais encore par le quotient du même nombre divisé par la sixième puissance de tout entier, par exemple -—-■ En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties actuelles que celles qui sont dénommées comme l'est

le tout, le cube ci-dessus •-- n'aura pas d'autres parties aliquotesque

I 7 /|0 I ,1 ... . I 343 ,. , 4oo ,

;-' ,-7' ,/ ' lesquelles, aioutees au même nombre --^^ tont^, nombr(ï O4 O4 ():( ■ •• 04 ()4

carré.

Voilà donc, très illustre Seigneur, le précis de ce qu'avait depuis

longtemps répondu à ces problèmes le très lionorablc Vicomte. Il me

reste, si ces remarques importunes doivent vous occasionner quelque

dérangement, à implorer humblement pardon pour,

Très illustre Seigneur, Votre très respectueux et tout dévoue

John Wali.is.

,.^ . , 77 seplcmbrc ,.

Oxiord, — ; iOjv.

7 OClOUIX'