LETTRE XVI
iiifliise dans l.i priifùjeiile.
.Ioii> Wallis a Keni;i.m Digbv.
Tuts NoiiLU Skigxeur,
Depuis que je vous ai envoyé ma dernière lettre du mois de septembre ('), le très honorable Lord Brouncker m'a communiqué ses solutions des problèmes de Format. Après les avoir vues, j'ai été amplement confirmé dans l'opinion que j'ai émise en ma lettre pi'écédente. Quoi (ju'il en soit de l'écrit qui aurait été mal traduit ii Fermai, comme vous l'avez dit, écrit (jue je n'ai jamais vu et dont je ne puis aucunement juger, ces solutions sont telles, à mon avis, (ju'clles répondent très exactement aux demandes. J'ai donc cru ilevoir vous les adresser aussitôt, après les avoir mises eu latin, afin (|ue désormais une mauvaise interprétation ne puisse tromper personne; je vous ai ainsi fait, le même mois, l'envoi d'une seconde lettre ('-), mais je l'ai fait revenir, ayant reçu dans l'intervalle les lettres de Fermât, et désirant répondre ;i ce qui s'y trouve indiqué à nouveau.
trest donc dans le mois suivant, en octobre, que j'ai reçu, de la part de votre Seigneurie, les deux lettres que lui a écrites M. Fermât en date du G juin et du i.) août, puis quelques jours après ses Ikmarques
(') LoLlrc VII.
(2) Letlro IX.
sur mon Arithmétique des Infinis; nouveaux bienfaits dont vous me r,onil)lez sans cesse. Mais il ne me reste aucun espoir d'échapper aux liens de la reconnaissance, qui me tient enchaîné à vous; je n'ai plus d'autre refuge que votre clémence; je n'ai, comme unique ressource, (jue de la supplier d'accepter mes très humbles rcmerciments pour tant de faveurs, et de me continuer, malgré mon indignité, l'affection que vous voulez bien me montrer. Puis, sans vous arrêter à de trop longs préambules, je me mettrai aussitôt à répondre à ces lettres, apriïs vous avoir cependant demandé excuse si mon importun bavardage interrompt vos sérieuses occupations.
La première lettre de Fermât se plaint de la difficulté de saisir ce qu'a voulu dire le très honorable Vicomte dans sa solution des problèmes; la faute en est attribuée à une mauvaise traduction de l'anglais.
Pour éviter de nouvelles plaintes de ce genre, j'ai cru devoir employer, en m'adressant à vous, la langue latine, qui n'a pas besoin de traduction : je l'ai fait d'ailleurs pour le cas où vous jugeriez à propos de communiquer cette lettre elle-même.
Mais Fermât ajoute qu'autant qu'il peut en juger au travers des nuaiies de cette obscure traduction, le très honorable Lord n'aurait nullement satisfait à sa question. Je crois précisément le contraire, et, il moins que Fermât n'ait pas bien encore compris ces solutions, je ne vois pas sur quoi il pourrait, soit en douter, soit le dissimuler.
Le premier problème était double.
Trouver un cube (p. 3i i , lignes 21 à 27) fasse un cube.
.l'ai répondu sur ce problème que le nombre i satisfait aux deux questions; il est, en elTet, à la fois carré et cube, et il n'a pas de parties aliquotes.
Lord Vicomte Brouncker a ajouté à cette solution qu'on pouvait également satisfaire aux deux questions (dans le cas où les fractions seraient admises), au moyen du quotient du nombre i par la sixième puissance de tout nombre entier; d'autre part, que la première des
deux questions seulement pouvait aussi èlre résolue au moyen du quotient de 343 par un semblable diviseur, par exemple -rrr'
En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties actuelles que celles qui sont dénommées comme l'est le tout, le cubt^
ci-dessus -^ n'aura pas d'autres parties aliquotes que ^f h^ 'df' 'p^"
quelles, ajoutées au même nombre -wr^ 'ont --rr' carre de -^■ ' ■• 64 t)4 8
A la vérité, Fermât s'explique maintenant en disant qu'il ne sera satisfait que par un nombre entier. Mais, même ainsi, on ne peut nier qu'il ne lui ait été donné satisfaction. Car, en dehors du nombre 343 énoncé dans le problème, il n'en demande i\uun seul autre, et il no promet d'en donner lui-même qu'M« seul autre, (/e demande un autre, etc.; et s'il répond qu'en entiers il n'y a que le seul nombre 343, je vous promets de le désabuser en lui en exhibant un autre) ('). Or nous avons donné un entier satisfaisant au problème, à savoir le nombre i .
Si je n'en donne pas d'autres, ce n'est pas que j'estime qu'il n'en existe point; mais c'est qu'il n'en demande pas davantage et que je ne juge pas l'affaire de telle conséquence (car à quoi bon?) qu'elle soit digne d'une recherche minutieuse, et encore moins que l'Angleterre tout entière, avec les Gaules Celtique et Belgique, qu'il provoque toutes ensemble, se livrent exclusivement ii cette étude. La question n'est pas plus importante, du moins à mon sens, que celle que je pourrais poser avec une pareille ostentation, en donnant deux nombres carrés, i6 et 25, qui font la même somme, si à chacun d'eux on ajoute ses parties aliquotes :
et en demandant deux autres carrés jouissant de la même propriété. Fermât peut, s'il le veut, s'attaquer à ce problème, ou, s'il le préfère, le négliger; mais je n'y attache pas une telle importance que je l'en juge plus habile, s'il réussit, ou moins, dans le cas contraire.
(') Lellre de Fermât à Uigby du G juin iCij. Tome II, page 3^?., ligne 3 à 7.
WO ŒUVllES DR FERMAT.- TRADUCTIONS.
L'autre problème élail ainsi conçu :
hllanl donne un nombre (page 3 12, ligne 3 en rem., à page 3i3, ligne 7) qui peut être donné.
Lord Vicomte Brouncker a fait usage d'une règle de ce genre, qu'il a munie de sa démonstration.
Soient n un nombre (page /ii8, ligues 3 à 10) = {,r ryi
.l'ai voulu eu ajouter une autre de mou crû, un peu plus générale quant au mode de procéder, mais revenant au même, pour le fond. Elle est également munie de sa démonstration.
Soient n un nombre donné (page \i^, lignes il\ à 20)
En effet.
man
in-
man -+- p"-
, rt'-
mail -+-
/ ma
pn
man +
ma \t\P
pn
Fermai peut choisir de ces deux règles celle qu'il lui plaira; il est clair qu'elle répondra à la question proposée. S'il en désire davantage, nous lui en promettons autant qu'il en voudra, mais elles coïncideront avec les deux ci-dessus, (jui fournissent, en effet, non seulement des carrés en nombre infini, mais tous les carrés possibles qui jouissent de la propriété demandée.
g On doit d'ailleurs lui faire remarquer que la limitation, que le nombre d(uiné ne soit pas carré, est superflue, dans les termes où la question est posée. (]ar la règle s'applique aussi bien aux nombres carres qu'aux non carrés.
Knfin il n'y aurait pas plus de difficulté s'il avait dit, en général, e/i ajoutant un nombre carré (juelconquc, et non pas en ajoutant l'unité. il ne resterait, en effet, (|u'une simple opération à faire, qui serait
de multiplier, par ce carré à «ajouter, le nombre carré clouiié par les règles précédentes.
Ainsi soit h- le carré à ajouter.
Avec la première règle, au lieu de ^, il faut prendre ^-^• Avec la seconde, au lieu de —rj, il faut prendre — ,,— •
a- ^ d- On a, en elFet, de la sorte, d'une part -^^ ^f>'i Jiî l'autre
- b-, nombres carrés.
Voilà ce que je vous avais écrit dans cette lettre dont je vous ai parlé, mais que j'ai cru devoir faire revenir, en raison des nouvelles indications que Fermât donne seulement aujourd'hui. Il y a, en elTef, lieu de compléter quelque peu ce (jui précède, eu égard à la nouvidle limitation requise, dont il n'était nullement fait mention dans l'énoncé antérieur.
Format dit maintenant (ju'il a voulu parler des seuls carrés entiers, non des fractionnaires; qu'en fractions, les solutions sont si faciles qu'elles peuvent être fournies a quolibet de trivio arithmetico ( ').
En tout cas c'est déjà quelque chose que votre très noble correspondant reconnaisse enfin que la question qu'il avait posée est de celles que peut l'acilemcnt résoudre quilibct de Irnio arhlimelicus ; il n'y a guère qu'il en jugeait tout autrement et pensait même qu'elle n'avait pas été résolue par le très honorable Vicomte, parce <[ue celui-ci ne l'avait pas trouvée dillicile (-). Cependant on pourrait peut-éire se demander si Fermât lui-même, pour ne pas parler de (jinUbci de ticio arillimelicus, avant l'énoncé de nos règles, en connaissait une générale, donnant non seulement des carrés en nombre infini, nuiis tous les carrés possibles, tant entiers que fractionnaires; s'il pouvait démontrer que cette règle était l(dlc.
(') « Par le premier venu des ealculaleurs de la rue. »
('-) Il est singulier que Wallis oppose ciilre elles, comme successives, deux déclarations de Fermât contenues dans la mémo lettre du 0 juin 1GJ7 (l'iccc 11° 8^ de la Correspondance).
Mais je ne sais si nous ne pourrions nous plaindre avec quelque raison de ne pas avoir été loyalement traités. Qu'il s'agît d'entiers, il n'en était pas soufflé mot dans l'énoncé de la question; rien ne nous pouvait faire deviner que nous avions à la comprendre ainsi. Dans le long préambule mis en tête, Fermât cite Diophante et égale au moins, s'il ne les préfère, ses questions arithmétiques aux problèmes géométriques des autres; il se donne comme imitant Diophante dans la question qu'il propose. Mais partout, chez Diophante, comme nombres carrés on entend indifféremment les entiers et les fractionnaires. Qui donc, même après avoir regardé Diophante plus ou moins rapidement,, pouvait soupçonner ou bien qu'il n'y a pas de carrés, à part les entiers, ou bien qu'une question ainsi proposée devait être entendue des seuls entiers? Nous avons donc résolu la question proposée au sens de ses fermes, tout à fait comme ils devaient être compris, et ce n'est pas notre faute, si, quand Fermât entendait les seuls entiers, il s'est exprimé autrement (').
Mais puisqu'il propose maintenant sur les entiers celte question qu'il avait auparavant proposée simplement sur les carrés; en d'autres termes, puisque, cette question étant résolue, il en pose une nouvelle, nous voulons bien le suivre encore sur ce terrain. Nous allons donc aborder ce
Nouveau problème : Faire la même chose pour les nombres entiers.
Nous remarquons d'abord que la question ainsi limitée est moins générale qu'auparavant, et il est immédiatement clair qu'il faut, ainsi que le fait Fermât, la restreindre au moins à des nombres donnés non carrés.
Si en effet, d'une part n, de l'autre ^. sont des nombres carrés entiers, -Jj- sera aussi un carré entier, et comme ^^ + i doit être
(') Wallis semble de fait avoir à peine regardé le préambule du second défi (Pièce n' 81 de la Correspondance). Dans le deuxième alinéa, en effet, Fermât pose très clairement la question comme concernant les nombres entiers et comme différant en cela des problèmes conservés de Diophante.
COMMIÎUCIUM DE WALLIS. W3
carré, on aurait deux nombres carrés entiers qui ne dilîéreraicnt (juc (le l'unité, ce qu'on sait être absolument impossible.
Dans le cas où la chose est possible, nos règles donnent non pas les seuls, mais cependant tous les carrés entiers. Elles donnent on (^fiTot tous les carrés demandés possibles, tant entiers que fractionnaires. Pour ne pas paraître parler au hasard, je vais le démontrer.
Soit/- un carré quelconque satisfaisant à la condition proposée; on aura nf- + i égal à un carré, soit /-.
Prenons maintenant /• = ~j^' ï^ "^''^ M^"^/" ^i""'' ^?' qui' donne la règle ci-dessus exposée. On a en elfet : q — r- — "^ "^ ' ■ Mais nf- + I = /-. Donc /-' — i — /(/- et n — ■ Par conséquent,
l'^^.il-^
2 / qr 2
et par suite, comme ir —
2/zj:2 2/3t2
ou l)icn
Ainsi la règle précitée fournit le carré /-, c'est-ii-dire un carré quelconque satisfaisant à la condition proposée.
(La démonstration se ferait de même, mulalisniulandis, [)Our l'autre règle.)
La règle précitée fournit donc une infinité de nombres carrés satisfaisant il la condition proposée et d'ailleurs, dans le cas où la chose est possible (c'est-ii-dii'e si le nombre donné est non-carré), une infinité de carrés entiers.
Il faut, de plus, que ^f — /- soit entier et il faut fournir une infinité de tels carrés.
Pour cela, parmi le nombre infini que donne la règle, on choisira arbitrairement un carré entier quelconque, satisfaisant ii la condition FiiiiMAT. — m. 55
43i ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS.
proposée, et qu'on peut d'ailleurs trouver de toute autre façon; grâce à ce seul carré, on en fournira une infinité d'autres, comme suit :
Soit/-, par exemple, ce carré; par conséquent nf'-+ i = /-.
2 //sera la racine d'un autre carré satisfaisant à la condition proposée. De la même manii're, connaissant ce second carré, on trouvera la racine d'un troisième carré, puis d'un quatrième, d'un cinquii'me, etc., à l'infini.
Exemple : Le nombre 3, multiplié par le carré i, si l'on ajoute l'unité, fait un carré.
3xn-i = 4.
Le double produit do i et 2, racines des carrés i et 4» <'Sf 2X1X2 = 4» <iui sera racine du nouveau carré 16 satisfaisant à la condition proposée.
Et comme 3 x 16 -1- i -z 49»
2 X 4 X 7 = 56 sera racine d'un nouveau carré 3i36 satisfaisant également à la condition.
Comme d'autre part 3 x 3i36+ 1 = 9409, carré de 97,
2 X 56 X 97 = 10864 sera encore la racine d'un nouveau carré satisfaisant il la condition.
Et ainsi de suite. On aura donc une infinité de carrés entiers satisfaisant il la condition.
Je n'ignore pas d'ailleurs qu'en dehors de ces carrés on en peut encore trouver d'autres; par exemple
3 X 7.ih + I = 676 ■= aG",
et autres que nous pouvons également fournir en nombre infini. Ainsi tous ne peuvent pas être immédiatement induits de la sorte d'un seul; mais on ne demandait pas cela; car il n'a pas été proposé de fournir tous les carrés entiers satisfaisant à la condition, mais d'en fournir en nombre infini, ce que nous avons fait.
Fermât voudra-t-il changer encore les termes de sa question pour la
COMMEUCIUM DK WALLIS.
proposer sous une troisit'iiic forme? dcniaïulera-L-il que les carrés entiers satisfaisant à la condition soient fournis, non pas sculemeni en nombre infini, mais absolument tous? Gela, nous pouvons également le faire.
Qu'il en soit d'ailleurs ainsi que je l'ai dit, pour ne pas parler vainement, je vais le démontrer.
Il a déjà été prouvé que -'- satisfait à la condition ; reste donc à faire
(|ue ^ — /■ soit un nombre entier, par suite ([ue sa racine ^' =/
soit un nombre entier, ou autrement, que r/= | « — y | soit une [larlie aliquotcdu nombre 2r.
Or il peut se faire ({UC2r, et di's lors47. "^' ^'*'* P'^^ entier; substituons donc il q, -ir> et il r, -• Nous aurons
ir
lac
Ainsi, /sera un nombre entier toutes les fois que \a^ — iie"^ \ sera une partie aliquotc du nombre lae; en d'autres termes, toutes les fois que la dilTérencc entre un carré et le [jroduit d'un autre carré par le nombre donné sera partie aliquotc du double produit des racines de ces carrés.
Or ceci peut arriver de mille manières difl'érentes, mais a évidemment toujours lieu en particulier, si cette dilTérence est i ou 2; car 1 est partie alicjuotc de tout nombre entier, et 2 l'est du nombre; lac.
C'est ce qui arrive évidemment dans notre cas. Puisqu'cn effet, suivant la condition exigée, /i/--i-i = /-, la différence /- — ///- sera 1; si donc par cette différence on divise 2/7. le ([U(»tient sera le nombre entier 2//, et ce sera par suite un nouveau nombre/ satisfaisant ii la condition. Et ainsi de suite indéfiniment. c. o. \ . it.
Je crois superflu d'en dire plus long sur cette question, ([uoique j'aurais beaucoup de choses prêtes à ajbutcr; mais je crains déjii de m'étre trop étendu.
Une autre question proposée par Fermât (') n'est parvenue que tardivement entre mes mains. L'énoncé en est :
Trouver deux nombres cubes dont la somme soit égale à celle de deux autres nombres cubes.
Il me suffira d'en dire quelques mots. Elle a été, à ce que j'apprends, résolue de diverses façons par M. Frenicle; j'ai vu quelquesuns de ses nombres; Fermât les ayant déjà reçus, il est inutile que je les répète. J'en ajouterai d'autres qui viennent d'ici.
io'+8o'
Si ces nombres ne suffisent pas, j'en fournirai autant qu'il le voudra; et cela si facilement qu'en une beurc de temps j'en promettrais bien cent, entiers ou fractionnaires, à son gré. Ce que j'ajoute poui' qu'il ne dise pas encore qu'il ne veut que des nombres entiers, alors que l'énoncé de la question ne fait nullement mention d'entiers.
Après avoir résolu ces questions, et si du moins votre très noble
(') Voir ci-avanl la Lellrc X du Commcrciiini, page 4 '9- — Wallis se coiiteiilc ici de donner des noinhres proportionnels à ceux de celte Lettre, calculés par Frenicle, sur le vu do la question de Fermât (Lettre du i5 août 1657, n" 8i de la Correspondance, T ).
correspondant trouve qu'il ait désormais suIRsammont éprouvé nos forces, je voudrais le prier de ne pas trouver mauvais et de ne pas, noli plus, attribuer à quelque épuisement de notre vigueur là-dessus, que nous ne nous montrions pas à l'avenir très préoccupés de résoudre des questions de ce genre. Il semble les aimer singulièrement, mais j'avout> (à dire ce qui en est) que, pour mon compte du moins, ("Iles n'ont pas un attrait si puissant que je sois porté à leur consacrer beaucoup de temps ou de travail, et que je ne les estime pas assez importantes, pour que, négligeant les autres recherches en Géométrie, qui me plaisent davantage, je me détourne vers ces spéculations sur les nombres. Qu'il ne croie pas toutefois qu'en parlant ainsi je veuille en rien diminuer la juste gloire que mérite son habileté dans la poursuite* de ces mêmes spéculations; je voudrais plutôt l'exhorter, s'il Irouve dans ces matières quelque secret intéressant pour l'avancement général de la Science, à le publier ouvertement dans un Traité iiiéthodique. Mais ce que je veux faire comprendre est seulement ceci ([ue, ne pouvant m'occuper également de tous les sujets, je m'attache <le préférence à ceux qui me séduisent davantage et me semblent avoir une utilité, tandis que je laisserai aux autres ce qui peut leur plaire au contraire plus qu'à moi; ainsi les uns et les autres pourront jouir chacun de son domaine.
Ce sera ma réponse aux nouvelles questions qu'il propose maintenant ('), par exemple :
Partager un nombre cube en deux cubes rationels;
Et partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cubes rationels.
Si le très honorable Vicomte Brouncker veut s'y essayer (et, s'il essaye, je ne doute pas qu'il n'obtienne un heureux succès, en tant du moins que la nature de la chose peut le permettre) ou si quelque autre a le même désir, je ne veux aucunement l'en détourner; mais moi du moins, je n'en ai ni le temps, ni l'intention.
(') LcUro du I j iioùl iGJ;, u" Si do la Correspondance , 4 cl 8, ci-avanl, p. 343.
Il ne m'a certes pas été désagréable, sur le désir exprimé par votre très noble correspondant, d'engager une, deux fois la lutte avec lui et de descendre dans son arène; mais cet illustre savant n'attend pas, sans doute, qu(! je continue toujours le même exercice, et que, comme si je n'avais rien autre cbose à faire, j'aborde sans oesse de nouvelles questions, perpétuellement renaissantes.
J'en dis autant pour ses récentes propositions négatives, que : en deliors de 25. il n'y a aucun autre nombre carré entier (jui, augmenté de 2, fasse un cube; ni, en debors de 4 et 121, aucun qui, augmenté de 4' fasse un cube. Si cela est vrai ou non, je ne m'en soucie pas extrêmement, alors que je ne vois pas quelle grande conséquence peut en dépendre. Je ne m'appliquerai donc pas à le recbercber. Kn tout cas, je ne vois point pourquoi il en fait montre comme de cboscs d'une bardicsse étonnante et qui doivent stupéfier soit M. Frenicle, soit aussi les Anglais; car de telles déterminations négatives sont très fréquentes et nous sont familières. Les siennes n'avancent rien de mieux ou de plus fort que si je disais :
11 n'y a pas (en entiers) de cubocube (j'entends une sixième puissance) ou même de carré qui, ajouté à 62, fasse un carré.
Ou : En dehors de /j, il n'y a aucun carré qui, ajouté au nombre 12, fasse un bicarré.
Ou : En debors de iG, il n'y a pas de bicarré qui, ajouté à 9, fasse un carré.
Ou : Il n'y a pas en entiers de cubes dont la différence soit 20, ni, à part 8 et 27, dont la différence soit 19.
On : Il n'y a pas de bicarrés entiers dont la différence soit 100, pas |)lns (pour le dire en une fois) qu'aucun autre nombre pair, à moins ([u'il ne soit divisible par 16.
Il est facile d'imaginer d'innombrables déterminations négatives de la sorte.
Pour ce qui concerne mon Arithméliqnc des Infinis, dont il parle dans la même lettre, il avoue que les propositions que j'ai découvertes sont les mêmes que les siennes; sauf donc que je n'ai pas parlé du
COMMEHCIUM DE WALLIS. Wfl
centre de gravité, remarque sur laquelle je reviendrai tout à l'iieurc, j'aurais ainsi produit ce que, dans la première lettre que j'ai vue de lui ('), il vantait comme miracles de la Géométrie. Il n'y a en effet rien de ce qu'il indiquait dans cette lettre que l'on ne puisse voir dans mon Traité, comme je l'ai montré en citant les endroits.
Mais, à ce qu'il semble, il regrette (reproche que je n'aurais jamais présumé devoir être dirigé contre moi) que la méthode dont je me sers ne soit pas celle qui prouve seulement la vérité des découvertes par démonstrations ajoa^o^i^we^ ou réductions à l'impossible (comme elles sont fréquentes chez Archimède et comme il convient d'en user si l'on veut moins se faire comprendre qu'admirer du lecteur); que ce soit au contraire cette méthode (|ui montre en même temps la marche des recherches.
S'il me rappelle l'exemple d'Archimède, exemple qui, à vrai dire, m'eût suffisamment justifié, si j'avais voulu employer la même méthode de démonstration, je ne crois pourtant pas que votre savant correspondant ignore que les hommes les plus sérieux et les plus doctes regrettent précisément, et sont bien près de considérer comme un défaut, qu'Archimède ait caché de la sorte les traces de ses procédés de recherche, comme s'il avait voulu par jalousie priver la postérité des moyens de découvertes, tout en voulant lui arracher l'aveu de ce qu'il avait trouvé. Mais Archimède n'a pas été le seul; la plupart des anciens ont tellement dérobé aux yeux de la postérité leur Analytique (car il est hors de doute qu'ils en avaient une) qu'il a été plus facile pour les modernes d'en inventer une nouvelle de toutes pièces (ce qui a été fait dans le dernier siècle et dans celui-ci) que de retrouver les traces de l'ancienne.
J'aurais certes plutôt attendu des remerciments qu'une accusation, pour avoir indiqué ouvertement et loyalement non seulement où j'étais
(I) Dans la Lcllio du 20 avril 1G37 (11° 8:2 do la Corrapondancc, T. Il, p. 33<)), Fermai n'applic[ue précisément cette expression de miracles qu'aux propositions relatives aux centres de gravité des aires comprises entre les hyperboles et leurs asymptotes. 11 est d'ailleurs le premier à dire que ses énoncés sur la quadrature des mômes aires peuvent se tirer de l'Ouvrage de W'allis.
arrivé, mais encore quelle route j'avais suivie; pour ne pas avoir été rompre le pont sur lequel j'avais passé le fleuve; d'autres peuvent le faire, mais on s'en plaint assez.
Votre très noble correspondant avance encore que certaines de mes propositions peuvent être démontrées par la méthode d'Archimède. Je n'en doute nullement; j'ai même indiqué plusieurs fois (Arithm. Infin., pag. 38, 83 et ailleurs) qu'il était facile de le faire; mais j'ai dit aussi pourquoi je ne l'avais pas fait moi-même; il n'a donc pas sujet de s'enquérir des raisons du choix do ma méthode, quand je les ai indiquées dans le cours de mon Ouvrage.
Il n'y a guère, je crois, personne, je ne parle pas des arithméticiens (te trivio, mais aucun géomètre un peu exercé (à plus forte raison quelqu'un de tel que lui) qui ne puisse facilement, sur mes démonstrations, en forger (ïapagogiques et semblables à celles d'Archimède. Aussi, pour sa promesse de le faire lui-même, je n'ai certes pas à dédaigner son travail lii-dcssus, mais aucune nécessité ne l'oblige à se charger d'une telle entreprise, alors que ce qu'il annonce devoir faire a déjà été précisément accompli par Cavalicri, dans son Traité De l'usage des indwisililes dans les puissances cossiques ('). Cependant, s'il veut apporter son suffrage, je n'ai pas ii le récuser.
Si enfin il repousse comme une forme de preuve illégitime l'indue-, tion, qui a été suffisamment employée tant par les Anciens que par les i\lodernes, plus souvent peut-être qu'il pourrait le penser de prime abord; s'il veut même écarter l'emploi des notes algébriques, partout répandues aujourd'hui, je n'ai certes pas à être aucunement préoccupé de rédiger une apologie sur ce chef. J'ai agi dans mon droit, suivant la voie qui me plaisait; il a de même le plein droit d'en suivre une autre, s'il le préfère; mais je ne doute pas que ce qu'il blâme, d'autres le loueront.
Il reste encore un point que je dois prendre surtout à cœur; j'ai, ;i propos du centre de gravité, à dégager ma parole et ii détruire l'accu-
(' ) De iisii coriinrlc/n iridh'isil)ilium in potcstatilnis cotdcit csl le titre de la quatrième dos six E.tercltatioiies i^eometricd' publiées par Cavalieri en 1647.
COMMERCIUM DE WALLIS. kki
sation de fausseté qu'à la vérité votre très subtil correspondant ne porte pas vraiment contre moi, mais qu'il semble réserver dans ses doutes.
J'avais dit, dans ma lettre du 6 juin, que les mêmes principes dont je me sers dans V Arithmclique des Infinis permettent de déterminer sans difliculté le centre de gravité tant des paraboles de tout genre, que de la plupart des autres figures, planes ou solides; que, toutefois, pour ne pas me perdre dans des digressions, j'avais à dessein omis toute cette spéculation sur le centre de gravité. A cela votre très noble correspondant réplique qu'il n'en sera pas persuadé, et qu'il désire dès lors (comme si j'avais particulièrement énoncé ce point) ({ue je détermine les centres de gravité dans les hyperboles infinies, en distinguant celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont pas. Il demande (ju'au moins j'envoie la proposition générale, même sans démonstration. Sinon, il laisse penser qu'il me regardera comme ne connaissant nullement une chose que pourtant, d'après lui, j'aurais avancé connaître; enfin il n'enverra pas auparavant ses spéculations qu'il a promises depuis longtemps, de peur sans doute que je n'y trouve quelque chose que je ne sache pas déjà.
Je ferai donc ce que demande votre très noble correspondant, tant pour ne pas paraître accusé justement de mauvaise foi, que pour qu'il voie que ce qu'il considère comme des merveilles, dont il se croit peut-être le seul possesseur, m'appartient en fait également. Bien plus, ce qu'il ne demande pas, j'ajouterai, suivant mon habitude, et la méthode de recherche et la démonstration; il verra ainsi qu'elles procèdent directement de l'art d'invention que j'ai exposé. Je ne suis pas pour moi si jaloux de mes découvertes que je ne les communique pas aux autres, et je ne serai nullement fâché si le très savant Fermât y apprend quelque chose qu'il n'aurait pas remarquée. Je le laisse d'ailleurs libre de faire ou non connaître les spéculations auxquelles il fait allusion et ses procédés de démonstration; je ne réclamerai pas l'exécution de sa promesse, s'il la regrette.
Ses hyperboles infinies ne sont autres que les figures construites sui-
KEtlMAT. — III. 36
vant les séries que j'appelle réciproques, et dont j'ai enseigné la qiiadralure prop. 102, 103, 104, 105 Arùhm. I/tJ/'/i.; 'f^ï tléjà montré cette identité et il la reconnaît lui-même.
Soit donc, par rapport à la droite infinie AAo (/tg. i), une figure de ce genre répétée, de part et d'autre, de telle manière qu'il y ait con-
Fig. I.
gruence entre AoBD et A^bcl, par exemple. La figure double ainsi formée est celle que Fermât appelle hyperbole infinie (') et dont il demande le centre de gravité.
Comme les droites parallèles ;i Ao (en dessous et au-dessus) forment une série réciproque, dont par conséquent l'indice est négatif, soit — p\ comme, d'autre part, les moitiés sont proportionnelles aux lignes entières, et que par conséquent les milieux de ces droites, ou leurs centres de gravité, doivent être regardés comme suspendus :t la balance Ao à des distances du point A (supposé le centre de la balance) proportionnelles aux grandeurs des droites elles-mêmes; les moments, dont la raison est composée de celle des grandeurs et de celle des distances, formeront une série ayant pour indice — ip.
Ainsi la figure totale est au parallélogramme inscrit D/^, comme i est à — p + I, et la somme des moments de l'une est à la somme des moments de l'autre, comme i à — 2/> + i. Mais le centre de gravité du
(') Format no s'esl pas en réalité exprimé d'une fai;on si impropre: mais la figure de Wallis n'en répond pas moins à celle du Tome II, page 338. —Le nombre /; de Walliscsl l'exposant de>" dans l'équalicn //".r = A de l'Iiyperljole io rajjporlée aux axes Ao (des x) et Kd (des j). D'autre part %i figure loialc comprend le rectangle M^bd.
parallélogramme est, comme on sait, en son point milieu; le parallélogramme Db doit donc être regardé comme suspendu en M, milieu de AA, dont la distance à A est AÎM = -Ai.
Mais le poids de la figure totale, dans sa position ('), étant au poids du parallélogramme, dans sa position, comme i à i — 2/j, si l'on prend sur l'autre bras de la l)alancc, la droite AP étant ii AM comme i à I — 2p, le parallélogramme suspendu en P fera équilibre à la figure totale suspendue comme auparavant. D'autre part, la grandeur de la figure totale étant à celle du parallélogramme comme i à i — /?, si l'on
fait = -—;, C étant sur l'autre bras que P, et les distances étant
réciproquement proportionnelles aux grandeurs, ce point C sera le
centre de gravité de la figure infinie, si toutefois il y en a un.
