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COMMEHCIUM DE WALLIS. 500

avoir des parties, de conserver toujours le même dénominateur. En

lécs,

regard de celles qui sont données, —> ^» gy) il en ressort nécessaire-

ment, pour le même nombre -^rr^ d'autres : -> j-i ^7^ qui, ajoutées ' ' 64 7 /I9 343 1 J

aussi avec ce nombre, ne donneront pas un carré.

Mais quand il n'y aurait pas pour -^ d'autres parties à considérer

légitimement que celles qui ont été données et qui gardent le même dénominateur, qui ne voit qu'il n'y a là que ce même nombre 3/(3 donné par M. Fermât, sauf un tout petit changement, et que la solution est absolument dérivée de la sienne? Si, étant donné le triangle rectangle 3.4.5, on en cherchait un autre pareil, suiïirait-il, comme solution légitime et digne d'un homme de science, de fournir son multiple 6.8.10? Pourquoi aussi ne pas, de même, donner avec des fractions un nombre carré qui, ajouté ii ses parties, fit un cube? Il n'y a pas évidemment d'autre motif, si ce n'est que M. Fermât n'a pas. [)ourle carré, donné d'exemple comme pour le cube. Mais maintenant que, dans l'opuscule écrit en latin et qui, très noble Seigneur, vous est dédié, se trouve un carré satisfaisant à la question, il sera facile, par le même moyen, en divisant ce carré par des carré-cubes, d'en fournir autant qu'on voudra.

Je ne suis pas plus satisfait du motif allégué pour ne pas fournir plusieurs cubes : parce que Fermât, dit-on, n'en demande pas plusieurs. Quant à regarder ce problème comme ne valant pas la peine de recherches ultérieures, cette dernière excuse pourrait être admise, si l'on n'avait pas consacré ses veilles à la question avant de feindre qu'on la néglige. Il y a dans cette ville de très cminents mathématiciens, qui, quoique nommément provoqués par M. Fermât à la solution de ces problèmes, ont préféré se taire plutôt que de faire quelque réponse déplacée (seul Frcnicle les a abordés et en a obtenu la solution ; chacun peut se glorifier de ce qui lui est particulièrement donné; il a cela, d'autres ont autre chose; il faut reconnaître qu'on peut dire franchement : Nous ne pouvons pas, tous, faire toutes choses); mais ce silence n'a causé aucun préjudice à leur réputation. Mais quand Wallis

olO ŒUVRES J)E FERMAT. - TRADUCTIONS.

présente h plusieurs reprises l'unité connime étant le cube cherché, cl qu'il néglige d'en rechercher d'autres, parce que Fermât n'en demande pas plusieurs, il est inexcusable, puisqu'en donnant l'unité, il no donne en fait aucun cube. Il est d'ailleurs aisé de déprécier ce à quoi on ne peut atteindre; mais il ne convient guère à un professeur de Mathématiques de demander à quoi peuvent être utiles ces problèmes; on pourrait tout au plus nous pardonner ce langage à nous, qui ne faisons pas profession de ces sciences, mais nous y exerçons pour notre seul plaisir.

On aurait aussi bon droit de demander à Wallis à quoi bon, et pour quel profit, la peine qu'il a prise si longtemps à la recherche malheureuse de la quadrature du cercle, ou même à la composition de son Arilhmcliquc des infinis; rien de tout cela ne peut servir à aucun usage mécanique; mais à quoi bon presque toute la Géométrie et l'Arithmétique, si l'on excepte quelques faibles parties, d'ailleurs les plus vulgaires, et que méprisent les savants, tandis qu'elles servent aux calculs des géodètes, des arpenteurs, des marchands, ou des praticiens des deux architectures, et autres pareils? Car tout le reste, plus secret et plus précieux, ne regarde que la subtilité et la perfection de la Science ; mais c'est le propre de l'intellect humain que de rechercher la vérité, il n'y a pas d'autre motif qui ait engagé tant d'hommes éminents à s'adonner à l'étude, et l'on ne peut traiter d'inutile, en Science, l'ac- (juisilion d'aucune vérité.

Allant plus loin, je vois qu'il propose un problème assez élégant; il demande, en effet, les nombres carrés qui ajoutés, chacun à la somme de ses parties aliquotes, font le même nombre ; comme sont iG et 25, dont chacun, ajouté à la somme de ses parties, fait 3i. ]Mais il semble avoir proposé là, ii peu près au hasard, la première question qui lui venait à l'esprit, comme s'il avait cru que Fermât eût procédé de la sorte en posant ses problèmes; je demande donc à Wallis s'il a de tels carrés, ou du moins s'il sait d'une façon certaine et démonstrative qu'il y a ou qu'il n'y a pas, dans toute la multitude des nombres, d'au- Ires tels carrés premiers entre eux que iG et 25. Après cela, il aura

COMMEUCIUM DE WALLIS. oit

uiio réponse; car il ne doit pas ignorer si ce qu'il propose est impossible ou non, et un mathématicien ne propose pas à la légère et sans mûr examen ce qui lui passe tout d'abord à l'esprit, à moins qu'il ne le fasse, pour son instruction, sur des questions qu'il aurait vainement essayé de résoudre.

Au reste, si, dans cette première partie, Wallis n'a guère réussi, il n'a guiirc été plus heureux dans le reste; il l'a même été encore moins, alors qu'il donne comme solutions différentes des nombres multiples, et que n'ayant rien fait que multiplier par 2, 3 ou un autre nombre, il se vante d'avoir montré Ui-dessus une suffisante preuve de ses forces, fi me serait très facile de le faire ressortir avec nombre d'autres absurdités; mais je n'ai pas maintenant le foisir de tout discuter en particulier; cependant votre bonté et vos faveurs me font tellement votre esclave que je ne puis refuser aucun travaif pour accomplir vos ordres ou me prêter h vos désirs; vous me trouverez donc toujours tout prêta vous obéir. Je vous salue.

l'aris, 3 fùvrior iGJ8.

LETTRE XXm.

JouN Wallis a Kkmelm Digdy.

Très iitustre Seigneur, votre fettre datée de Paris, G février style nouveau, m'est arrivée fe 19 février vieux style, au moment où j'allais me coucher, envoyée par le très honoré vicomte Brouncker, qui l'avait reçue la veille, en même temps que la lettre y incluse de M. Frenicle à vous : dès le lendemain, je préparais ma réponse, mais j'ai différé de l'envoyer jusqu'à présent, parce que vous me faisiez espérer, ponr la semaine suivante, l'envoi d'une autre lettre que nous n'avons pas encore reçue; je croyais donc pouvoir répondre à tout ensemble, et cela d'autant plus que, quand vous avez écrit votre dernière, vous n'aviez pas encore reçu, comme il semble bien, la mienne datée du 2G décembre, ni môme celle que vous a envoyée un peu auparavant le vicomte Brouncker. Je ne puis faire autrement que de vous remercier

ol2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

Irt's humblement de la très grande faveur dont vous continuez à m'honorer, et me féliciter, en même temps que notre Oxford, de l'espoir que vous nous donnez de dissiper bientôt par votre présence la tristesse que nous cause la mort de votre si savant ami Longbain; perte presque irréparable, survenue le 9 février à la suite d'une pleurésie. Voilà, en bien peu de temj)S, trois hommes incomparables, Armagh, Selden, I.ongbain, disparus au grand dommage de la Science et aux amers regrets de l'Angleterre.

Quant il la lettre du très noble Frenicle, que renfermait la vôtre, je suis embarrassé pour répondre. Car s'il s'agit d'injures, j'aime mieux me taire que de donner la réplique.

Que le nombre i n'ait pas de parties aliquotes, cela n'est pas nouveau et je ne l'ignorais pas. Mais que i ne soit pas cube, qu'il ne soit pas nombre, j'aurais bien pu croire que quelque autre l'eût dit, mais non pas Frenicle, qui l'a déjii donné et comme nombre et comme cube. Car, si la renommée ne m'a pas trompé, il a fourni, pour un autre problème de Fermât, i et 1 728 comme deux nombres cubes dont la somme est égale à celle des deux cubes rooo et 729. Il l'appelle encore nombre ilans le livre qu'il a publié et que j'ai la reconnaissance de devoir à voire obligeance. Page G : « Soient posés, dit-il, les deux nombres 1 et 7 » à un endroit où il parle de cette même question. Il l'appelle carré, page 17, en reproduisant les paroles de Fermât, dans l'exposition de la secon<le question : « Le carré i, multiplié par 3, après addition de l'unité, fait 4. » EL Frenicle, page 21 ii la fin, confirme cette expression par ses propres termes, qui énoncent la même chose. De même, page 23, « produit de .') par le carré i » ; page 25, ligne 19 : « Ac nombre 7 multiplié par le carré 1 », et, ligne 23 : « Le plus petit nombre sera donc carré, à savoir c),et le plus grand, 1 1 , multiplié par le carré i . » De même, en d'autres nombreux endroits. Comment donc, s'il avoue <]u'il est carré, niera-t-il qu'il soit cube? ou bien si, pour les clarissimes MM. Fermât et Frenicle, il est aussi bien nombre que carré et cube, je ne vois pas pourquoi il ne le serait pas pour nous.

Quand nous ne serions, moi et le très honoré Vicomte, quedcsar///*-

COMMEIICIUM DE WALLIS. 313

méticiens du vulgaire ou mémo des apprcnlis les plus novices, nous no pouvons bien comprendre ce qui pcul étonner, faire rougir ou rcndr." stupéfait cl honteux yolvG cXAv'iiSMXia Correspondant. Le problème proposé était bien de trouver un cube tel qu'ajouté à la somme de toutes SOS parties aliquotos il fit un carré. Or je dis que r est cube, qu'au moins Freniclc doit le tenir pour tel, et qu'ajouté à la somme de toutes SCS parties aliquotcs, qui sont nulles, il vient toujours i, qui est aussi carré. On demande aussi un carré tel qu'ajouté à la somme de toutes ses parties aliquotos, il fasse un cube. Or je dis que i est encore carré (du moins il doit être carré pour Format et pour Frenicle, puisqu'ils l'ont assez souvent alFirmé comme tel), et qu'ajouté à la somme de ses parties aliquotos, qui sont nulles, il vient toujours i, (jui est cube. Pourquoi donc craindrions-nous d'alTirmer non pas deux, trois fois, mais quatre, cinq, s'il le faut, qu'un seul et mémo nombre i satisfait aux deux questions?

J'ignore absolument ce qui peut émouvoir la bile de votre clarissime (Correspondant, qui n'a pas été mis en cause, je ne dis pas provoqué, et avec qui, quand j'ai écrit la lettre qu'il attaque, je n'avais jamais eu aucune affaire; dont je n'avais jamais vu b' Livre, dont je n'avais rien entendu dire; que je suis donc bien loin d'avoir blessé on quoi que ce soit. Ce n'est pas parce que, soit lui, soit Format, ce dont je ne puis douter, attendaient quelque autre nombre, ou parce que lui-même (ce que j'ignorais alors) on avait donné d'autres, qu'ils doivent être fâchés de voir (ju'on leur fournit ce nombre inattendu, que Format, pro[)0sant le problème, n'avait pas prévu, et contre lequel il m' s'était donc pas précautionné, ou que Frenicle, dans sa solution, n'a pas aperçu el n'a donc pas produit. C'est de même que Format n'a sans doute pas prévu et que Frenicle n'a pas découvert que la troisiiMuc question pouvait être résolue par des fractions; que, par suite, il demandait simplement descrt/rei, alors (ju'il ne voulait que des carrés entiers.

Pour ce que dit votre clarissime Correspondant dos parties ali([uotes d'un nombre fractionnaire, sur ce que nous avions seulement avancé bypothétiquement (à savoir si Format y admettait aussi des parties ali-

Ieiimvt. — Ml. C5

qiiotes), je ne veux pas déterminer s'il faut l'attribuer à la chaleur de

sa passion ou plutôt à sa liàtc; mais j'ai bien peine à croire qu'il ait

3/'3 réfléchi posément, lorsque, comme parties aliquotes du nombre '-7-,- ^

il demande qu'on compte ^1 -^^ 5> etc., ou encore -„-) -~, ^> etc.,

' 7 '\9 non moins que .-^71 7^1 prf • 1 64 64 04

Que ces parties ne doivent pas être regardées comme aliquotes (pas même pour la quantité continue, et non seulement pour la discontinue), cela est certain tant par Euclide, Vil, déf. 3 et 4, que par V, déf. 1, où, pour la nature de la partie (aliquote), il est spécifié qu'elle doit mesurer le tout, c'est-à-dire que, prise un certain nombre de fois, elle doit lui devenir égale; or cela n'a pas lieu pour celles qu'il propose. Par exemple, le nombre ^1 pris G fois, est inférieur au nombre

-—; mais, pris 7 fois, il lui est supéri(Mir. 11 n'en est donc pas une

partie aliquote, mais bien aliquante, ou, autrement, il en est plusieurs parties, suivant le langage d'Euclide; de même pour les autres. Quant

il ~> qu'il prétend de même être une partie aliquote du même nombre

-T7-) on peut, il vrai dire, soutenir cela sous un meilleur prétexte, puis-

(|u'il faut au moins l'admettre pour la quantité continue, au même

titre que - sera tenu pour partie aliquote du nombre i, ou - pour

partie ali({uote du nombre 3. Mais pour la quantité discontinue, on ne doit pas l'admettre. De même, en effet, que celui qui compte comme

unités 343 (ou — j suppose séparées en acte ces unités, mais non

pas les moitiés ou autres parties des unités, de même pour -r^^ celui

qui compte les (\^^"'^^ suppose ces G4'"" (en tant que comptes) séparés en acte et dénombrables ; mais il ne fait pas cette supposition pour les 128'"*' qu'on peut bien dire exister en puissance et comme mesurables (de même que les moitiés dans les unités), mais non pas distingués en acte.

C0MMi:iiciLiM ni: wallis. sis

Si j'ai négligé de pousser plus loin la solution du problème proposé, j'en ai donné plusieurs fois les motifs. Si votre clarissime Correspondant n'y ajoute point de foi, on ne peut guère croire qu'il le fasse alors (lue je les répéterais encore à nouveau.

Mais, puis«]u'il insisie d'un(^ façon si importune, en allant presque jus(|u'aux injures, j)our le cas où je ne le ferais point, je veux bien (pour la première fois) lui donner satisfaction en abordant sérieusement cette question du cube dans le sens où il la prend. Il verra ainsi que ses mystères des parties aliquotcs ne nous sont pas inaccessibles et il n'aura pas à répéter son : « Il est facile de déprécier ce que l'on ne peut atteindre. » Nous disons donc :

1. Il est clair (ju'une puissance quelconque d'un nombre premier, ajoutée à la somme de ses parties aliquotes, est la somme d'une progression géométrique (soit i .R.R'.R'.etc), dont le premier terme (A) est I, tandis que la racine ou raison commune de la progression (R) est ce nombre premier, et que le nombre des termes (T) est supérieur d'une unité à l'exposant de la puissance en question.

2. On sait également qu'en général {voir notre Mathesis unkcrsalis. prop. (.iH, Cbap. 33) la somme d'une progression géométrique es!

r A; (|ue, par conséquent, dans le cas présent, oîi A = i, elle sera

3. De même, puisqu'il s'agit d'une puissance cubi(|ue, et dès lors )"'*■, G'"", f)'"*^ ou autre, dont l'exposant est divisible par 3, il est claii'

(|ue le nombre T des termes, en tant que supérieur d'une unité à l'exposant de la puissance proposée, sera \, 7, 10 ou quelque autre nombre supérieur d'une unité ;i un multiple de 3.

4. Si donc nous divisons la puissance V"". 7'"". lo"'", etc. d'un nombre premier quelconque, diminuée d'une unité (à savoir R^— i), par l'excès sur l'unité du même nombre premier (soit R— 1), nous

516 GiUVIlES DE FEllMAT. - TUAI) UCTIONS.

aurons la somino d'une certaine puissance cubique (3"'% G"'^ 9"", etc.) (le ce nombre, et des parties aliquotes de cette puissance.

5. Traitant d'après cette ri^-gle tous les nombres premiers plus petits (jue 100, je trouve que, pour le nombre 2, le cube ajouté à ses parties aliquotes est i5 = 3 x 5; que son cubocube (ou puissance G'"^), auguienté de même, est 127 nombre premier; que la 9""" puissance, augmentée de même, est io23 = 3 x 1 1 x 3i.

De même pour les autres, suivant le Tableau ci-dessous, où les sommes avec les parties aliquotes sont décomposées en facteurs premiers.

Culic ajoutij à la somme

lîacinc.

île ses parties aliqnote:

.iXjxa

3xiix3i

Higi