LETTRE XXVI

Frenicle a Kenelm Digby.

J'aurais préféré, très illustre Seigneur, garder le silence sur ce qui reste encore, dans la Lettre du Clarissime Wallis, ii discuter touchant les nombres, et ne pas avoir ;> m'arrêterii chaque détail; mais, puisque vous attendez de moi que je vous fasse connaître mon opinion sur ces questions, il ne serait pas juste d'éluder vos désirs.

Il s'agit maintenant d'un autre problème du Clarissime Fermât.

Tout d'abord Fermât (comme le dit la Lettre de Wallis) expose en ces termes un certain théorème :

Étant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité de carres déterminés tels qu'en ajoutant l' unité au produit de l'un d'eux par le nombre donné, on ait un carré.

11 donne comme exemple le nombre 3 dont le produit par le carré i ou iG, étant augmenté d'une unité, fait le carré 4 ou /19; il aflirme qu'il y a une infinité d'autres carrés dont le produit par 3 satisfait à la même condition. Or, pour trouver ces carrés, Wallis donne une méthode légitime.

A la vérité, pour les carrés servant au nombre '6, il a mis un nombre pour un autre; mais cette erreur est excusable, car elle vient non de rii^norance, mais d'une inadvertance; il a en elFet multiplié 56 x 97 non par 2 suivant la règle, mais par 3. Il faut donc, au lieu de

3x56x97 = 16296, lire 2 X 56 X 97 = 10864 (')■

Mais, soit dit sans le fâcber, cette affirmation, qu'il y a une infinité de carrés dont le produit, par 3 ou un autre nombre non carré, donne ainsi un carré, c'est le théorème énoncé que Fermât dit avoir démontré et qu'il n'avance que pour l'exemple et le préambule; ce n'est point le problème qu'il demande de résoudre. Car ce qu'il s'agit de trouver, ce sont les carrés qui, multipliés par un nombre quelconque non carré, donnent, par l'addition de l'unité, des carrés, de même que les produits par 3 des carrés 1 et 16, après addition de l'unité, donnent des carrés. Il est d'ailleurs assez clair par là que les carrés demandés doivent être entiers.

Certainement Wallis pourrait s'excuser si Fermât n'avait proposé aucun exemple ou s'il avait indiqué des nombres fractionnaires aussi bien que des entiers. Mais l'exemple n'étant donné qu'en entiers, il était assez compréhensible que la question portait sur des entiers, ainsi que Fermât l'a plus tard expressément déclaré. Ne demandait-il pas des nombres tels que 3 et iG? Il est donc bien clair que Wallis cherche des équivoques pour éluder le problème, qu'il a choisi ce qui était le plus facile et s'est dérobé devant ce qui était le plus ardu.

Mais on demandait des nombres carrés et je ne vois rien dans la solution que des species, lettres ou caractères, dont plusieurs ne me sont pas familiers, et qui représentent les nombres et les carrés, sans que les carrés demandés soient aucunement exprimés; tous, au contraire, restent inconnus; je ne vois donc pas qu'on ait satisfait à la question qui demandait certains carrés déterminés. En effet, Fermai proposait, comme exemple pour les autres à chercher, de donner les

(') f'oir page 434, ligne 18, où je n'ai pas conservé dans la traduction [l'indication du lapsus ultérieurement corrigé.

carrés dont le produit par les nombres Gi, 109 ou 127, étant augmenté d'une unité, fait un carré. Et certainement, si tous les carrés quelconques étaient également faciles à trouver, comme cela arrive pour les fractionnaires, il n'eût pas choisi ces nombres-là plutôt que; d'autres.

Maintenant, pour les entiers, que nous donne Wallis? En (ont cas, aucun carré de ceux qui sont demandés, à savoir dont le produit par un nombre autre que 3, pris comme exemple par Fermât, étant augmenté de l'unité, fait un carré. Il reconnaît que la règle donne non |)as les seuls carrés entiers, mais tous indistinctement, tant entiers que fractionnaires. Sans doute, s'il avait trouvé une méthode ()our séparer les entiers des fractionnaires, il aurait résolu la question. 3Iais il va une infinité de fractionnaires pour chaque entier, et les carrés entiers sont en très petit nombre par rapport aux fractionnaires; si donc il n'y a pas une méthode quelconque pour opérer la séparation et qu'il faille livrer au hasard une pareille recherche, e'esl comme si l'on donnait à chercher une perle ou un diamant dans tout le sable de la mer, ou comme on dit communément, une aiguille dans une meule de foin. Si, au contraire, Wallis a une certaine méthode qui puisse servir à trouver les carrés pour les différents nombres, puisque dans l'opuscule latin de Frenicle ces carrés sont donnés pour chaque nombre non carré jusqu'à i5o, qu'il poursuive jusqu'à 200, ou s'il n'a pas le loisir de pousser aussi loin, que le clarissime savant s'exerce seulement sur le suivant iji; je ne parle pas de 3i3 qui, peut-être, serait au-dessus de ses forces; autrement je ne serai jamais persuadé qu'il a obtenu la solution du problème, qu'il a en général tous les carrés pour chaque nombre on du moins un carré pour un nombre quelconque; car je n'en demande qu'un soit pour i5i, soit pour 3i3. il dit qu'il démontre (juc sa méthode donne tous les carrés; mais il ji'y a pas de meilleure démonstration que de fournir les nombres euxmêmes, surtout quand ou en demande aussi pou.

Ou bien qu'il fasse, par quelque méthode certaine, la déduction des carrés qui servent pour les nombres Gi et 109 et qui sont dans

les colonnes 2 oL 3 du Tableau de l'opuscule précité de Fronicle; ou encore qu'il rcclierchc les nombres de la colonne ^\ dudit Tableau , nombres grâce auxquels il esl, 1res facile de construire les carrés; ceux-ci se trouvant dans le Tableau, il y a certainement beaui:oiip moins de dillicultés pour ce que je lui propose ici.

Reste la dernière solution de Wallis, dans la(|uelle il donne, de nombreuses manières diirércntes, deux cubes dont la somme est égale il celle de deux autres cubes. Cette question doit éti'e très facile, car vous savez qu'elle a été résolue de diverses fa(,'ons aussi aisément; cependant, quoi(|ue Wallis ait donné de nombreux couples de cubes. il n'en a pas fourni d'autres que ceux qu'il a déduits, par une sim[)le multiplication ou division, de ceux que vous lui avez communiqués comme venant de Frenicic. Pourvu que vous ayez un original de votre l.ettre ii Wallis qui renfermait ces cubes, vous reconnaître/. aisément qu'on trouve, parmi eux, les cin(( combinaisons suivantes sur les([uelles repose tonte la série des cubes donnée par Wallis :

Racines des cubes.

Les vingt-deux autres, en eirel, (]ui suivent ci-après sont celles (|ne Wallis dit différer de celles de Frenicic; or, à coté île cliacunc d'elles, a été indiqué le numéro de celle des combinaisons ci-dessus qui lui a donné naissance et le nombre par lequel, pour la coustruc'tion île ses cubes, Wallis a multiplié ou divisé les cubes qu'il avait reçus de votre main; le mot m marqu(! la multiplication, le mot/>a/-la division.

(1. H +(:.36 =0.27 +C. 3i>, i" on 3, C. i+C. 6 =C. 4i + C. 5,

par

2" par 2,

lof.

en ?„

4° par 2,

par 3,

5° par 2,

par 3,

2" en 4,

en 3,

5» par 3,

en 5,

2° en 2i,

en 2,

3" en 2,

66 rr-.

en y.

(io -J-

4° en 4,

on 4.

3" par 3,

3oH-

en 3,

.5" en 3,

en :").

Vous n'avez donc pas à vous étonner s'il s'engage si facilement à fournir jusqu'à cent combinaisons pareilles dans l'espace d'une heure. Quoi de plus facile que de multiplier ou de diviser ainsi de petits nombres? Une seule combinaison do cubes en fournira très aisément plus de mille sans aucun embarras. Car, dans cette opération, il n'y a pas d'autre fatigue, il n'y a pas d'autre recherche subtile ou d'autre habileté que de multiplier les termes d'une combinaison donnée quelconque, soit par exemple la première i, 12 = 9, 10, par chaque nombre 2, 3, 4. 5, successivement aussi loin qu'on voudra aller; ou bien, ce qui est encore plus facile, que de diviser par chaque nombre les racines des cubes, ainsi que l'indique le Tableau suivant, et cela à l'infini; sans qu'il y ait aucun besoin de multiplication ou de division, si l'on ne veut pas faire les réductions.

COMMERCLUM DE WALLIS. 535

II n'y avait donc pas besoin d'embrouiller de telle façon ces cinq combinaisons de cubes, ii moins qu'il ne voulût déguiser davantage ses solutions factices et dérivées d'autres connues. II eût mieux fait ou de garder absolument le silence ou de donner quelques combinaisons nouvelles et non multiples d'autres connues; ce qui était d'ailleurs très facile à trouver, comme les suivantes, données aussi par Frenicle et dans lesquelles les termes n'ont aucune commune mesure :

Il ne lui convient donc pas de se vanter d'avoir prouvé ses forces dans des choses aussi insignifiantes, qui mériteraient à peine quelque éloge il de petits enfants, ou du moins il n'a pas k les faire prendre pour un effort gigantesque.

Au reste, il me parait avoir reculé devant la solution de ces problèmes où il n'y a aucune ambiguïté sur la nature des nombres entiers ou fractionnaires, comme : Diviser un nombre cube donné en deux cubes rationels, et Diviser un nombre, somme de deux cubes, comme 28, en deux autres cubes rationels, problèmes où il est assez clair qu'on ne peut toujours satisfaire à la question en nombres entiers, où il faut donc aussi employer les fractions.

Voilà, très noble Seigneur, ce qui m'est venu ii l'esprit au sujet des solutions données par Wallis aux questions numériques de Fermat; voilii ce que j'en pense, mais que je n'aurais jamais entrepris d'exposer, si je n'avais pas voulu obéir à vos ordres, auxquels vous me trouverez toujours absolument préparé. Je vous salue.

330 ŒUVHIÎS DE FEHMAT. - TRADUCTIONS.

l.ETTUE XXVH.

VicoMiK DnoiNnKi'ii a Kfxhi.m Dic.iiv,

Sir, il y a onviron quinze jours ou trois semaines que j'ai reçu la lettre du G février, dont vous vous êtes plu à m'iionorer, et pour laquelle je vous remercie très huniMcment. Et liier j'ai eu votre lettre du 20/10 février i()j(S/7 au D"" Wallis, dont, avec la liberté que vous Mie donnez, j'ai pris connaissance en même temps que de celle de M. Krenicle (ju'eilc renferme. J'ai appris de la sorte que vous n'aviez |tas encore reçu la dernière lettre du D'' Wallis, écrite, je crois, Iri'speu de temps après la mienne, qui a eu la bonne fortune d'arriver entre vos mains; cependant à l'absence de M. Wbite, le D' Farrar s'était (diargé de vous l'aire sûrement parvenir cette lettre du D"' Wallis.

Autrement je suis assuré (|ue M. Frenicle aurait omis au moins la plus grande partie de ce qu'il lui a plu de dire dans ses deux écrits; car cette lettre vous présente une métliode bien aisée, claire et (certaine pour la solution en entiers du problème en question ; car, quoique M. Frenicle se plaise à dire : « Puisque dans l'opuscule latin de Frenicle ces carrés sont donnés pour cliaque nombre non carré jusqu'à I ;")(), (|u'il poursuive jusqu'à 200, ou, s'il n'a pas le loisir de pousser aussi loin, que le clarissime savant s'exerce seulement sur le suivant I h; je ne parle pas de 3i3, qui peut-être serait au-dessus de ses forces; autrement, etc. », dans l'espace d'une beure ou deux au plus ce malin, en employant la métbode exposée dans celte Lettre, j'ai trouvé que

3 [ 3 X 7 1 7o(J!55 — r =:; 1 2(iS(J23G8 ,

et ensuite que c'est-à-dire

3i3 X (2 X 7170GSJ X 1268623(38) ,

3i3 X i8i938oi58J64i6o -j- 1 z— 32188120829134849 , c(> que je crois pouvoir me contenter de vous écrire, afin que M. Vrc-

nicle puisse savoir par là qu'il ne manque rien pour la parfaite solution de ce problème, il ne me reste maintenant, noble Sir, qu'à vous assurer que mon père et ma mère ne peuvent pas, qu'aucun autre ne peut qlus vous honorer et vous estimer, ou être plus lier de votre amitié que ne le fait celui qui est.

Sir, votre très humble et très fidèle serviteur, Brounc.kf.k.

i3/23 mars 1657/8.