LETTRE XXVIII

John Wali.is a Ke.nelm Digby.

Très illustre Seigneur, j'avais déjà répondu à la Lettre en date du 6 février, dont vous m'avez honoré, et en même temps à celle de Frenicle qui s'y trouvait renfermée, avant de recevoir les suivantes du 20/10 février, qui m'arrivent à cette heure. Je reconnais en même temps et à mon grand regret que, lorsque vous avez envoyé ces dernières, vous n'aviez pas encore reçu celle que je vous avais adressée on date du 2G décembre. Si M. Frcnicle l'avait vue, il n'aurait certainement pas écrit, sinon sa première lettre, au moins sa dernière, ou en tout cas la plus grande partie de celle-ci.

En ce qui regarde le problème de M. Fermât, sur les carrés en nombre infini, dont le produit par un non-carré est inférieur d'une unité à un carré, et quant au théorème préliminaire, nous avons et démontré le théorème et résolu le problème; tous les deux étaient proposés, du moins à nous; je ne sais pas s'ils l'ont été de même à Freniclo, mais il n'a pas à me reprocher d'avoir traité ce théorème hors de propos. En tout cas, nous avons résolu le tout, non seulement en fractions, mais aussi en entiers. Une fois, en efTet, que Fermât a eu pi'écisé sa question, en la bornant aux entiers, nous avons enseigné à séparer ceux-ci des nombres iVaclionnaires, et nous avons fait tout ce que réclame aujourd'hui Frcnicle; ce qu'il ne niera plus, une fois qu'il aura vu cette lettre du 26 décembre. Nous n'avons pas donné kebu\t. — ni. 68

seulement les règles, ce qui pourtant eût sulTi, mais nous en avons aussi montré l'application, non pas à la vérité sur les nombres Gi, lOf), 127, qui avaient été, ce semble, proposés à Freniclc, mais bien sur d'autres qui ne sont en rien plus faciles, 109, 1/19, /|33, que Fermât nous avait proposés. Lord vicomte Brouncker vient également d'appliquer ces règles au nombre 3i3, que Freuicle nous a proposé comme insurmontable. On le fera avec autant de facilité pour 1 u et pour tout autre. Freniclc ne doutera plus, quand il aura reçu la lettre ci-dessus mentionnée, que nous ne soyons parfaitement maîtres de toute dilficuUé là-dessus.

Quand il avance que, pour fournir diverses combinaisons de cubes, par couples dont les sommes fussent égales, je me suis borné à multiplier ou à diviser par un môme nombre quelques autres combinaisons de ce genre, il dit une cbosc qui est parfaitement vraie, mais il n'a pas à me la reprocber, puisque lui-même m'a précédé dans cette voie. Voici, en elFet, les nombres qui m'étaient communiqués comme venant de lui.

Il est clair que les nombres des combinaisons 3 et 4 'H' sont autre cliose (jue des éqnimultiples de ceux des combinaisons i et 1. Si Freniclc n'ignore pas que la chose est facile, il ne voudra pas, je l'espère, prétendre que je ne pouvais le savoir. Si l'on connaît de fait une seule combinaison de ce genre, déduite de l'inspection de la Table des cubes, ou choisie parmi celles que Freuicle a indiquées, ou enfin obtenue de quelque autre manière, il est certain que l'on pourra immédiatement en fournir une infinité. Que l'on ait, en edet, par exemple,

rt' -4- i(' r= C' -h cP,

on aura aussi

fl» gS i ^3 (,3 -- (.i (.i ( ^i f,i^

quel que soit le cube e\ entier ou fractionnaire. De même, si un cube quelconque peut être partagé en deux autres, un cube donné arbitraire pourra l'être également; car si, par exemple,

on aura

J'ajoute qu'il en est de même pour la question que j'ai proposée. Ainsi, par exemple, iG et 25, ajoutés cbacun à ses parties aliquotes, donnent des sommes égales; il en sera dès lors de même de iGe- et de 25e-, quel que soit e'^, pourvu que, d'une part, c'- et iG, de l'autre, eet 23, soient des nombres premiers entre eux; cliosc que, j'en suis persuadé, M. Frenicie sait parfaitement.

Quant à la faute de calcul qu'il signale, je la reconnais; je l'avais déjîi remarquée depuis longtemps et corrigée sur ma minute; si elle ne l'a pas été sur la lettre même, il n'y a lii qu'un lapsus dû à la trop grande précipitation de ma plume, et n'importe qui peut le corriger d'après le contexte. S'il en trouve d'autres pareils, j'espère qu'il les excusera de même, à charge de revanche. Car il a commis une semblable erreur, si je ne me trompe, page 4 de son Inquisilio. Pour le second cube, il met G53359 au lieu de G533.J9 pour le compte des parties aliquotes. Or là le lecteur n'est pas averti i»ar le sens de la phrase, et l'erreur ne peut être remarquée que par quelqu'un qui sache calculer les parties aliquotes d'un grand nombre et reprennes l'opération di-s le début.

Enfin, pour le problème de Fermât, du nombre cube qui, ajouté à la somme de ses parties aliquotes, fait nu carré, je l'ai débrouillé dans ma dernière lettre en date du 4 mars; votre très noble Correspondant n'a donc [)his à insister sur ce sujet. Pour (|ue d'ailleurs il ne me reproche pas encore de donner seulement les méthodes, et non des nombres qui, au moins, soient différents des siens, j'ai mis ci-dessous

six cubes tels que, ajoutés chacun avec leurs parties aliquotes, ils donnent des carrés :

Racines des cubes. Racines des carrés.

2x3x5xi3x 17x81 x^ix 191 2'^x3'x5''x7Xi3xi7X29-x37

3'x3x I IX i3xi7x3ix:4ix 191 2"x3'x5 X7X 1 ix i3x 17x29^x37x61

3'x5x7Xi 1x13x17x31x41x191 2'^x3'x5^X7Xiixi3xi7X29'x37xGi

17x31x47x191 2'° X 3' x.')xi3x 17x29x37

7x17x31x47x191 2"'x3^x5'xi3x 17x29x87

J'ajoute que le second et le quatrième de ces cubes satisfont à la question des deux cubes posée par Frenicle, au bas de la page 3 de son Inquisilio.

Ce que je pense des recherches de ce genre sur les nombres, je l'ai déjà dit, et je ne répète pas à quel point c'est malgré moi que je m'y laisse entraîner. C'est là, il est vrai, une excuse que je ne devais pas invoquer quand il s'agissait de satisfaire aux sollicitations pressantes de deux clarissimcs savants, et, avant tout, d'exécuter vos ordres. Mais cependant, si je puis le dire sans les blesser, je ne vois pas ce qui j)Ourrait mieux profiter réellement à la Science que l'exposé méthodique qu'ils pourraient faire au monde savant de ce qu'ils regardent comme leur appartenant en propre, plutôt que de proposer à d'autres, ainsi qu'ils l'ont fait, de trouver à nouveau ce qu'ils pensent avoir inventé; ils ne retireraient pas moins de gloire d'une façon que de • l'autre. Je vous salue, très noble Seigneur, et je vous prie de continuer à accorder vos faveurs à

Votre très humble et très obéissant serviteur,

John Wallis.