LETTRE XXX

Vicomte Rrounckeu a John Wallis.

Sir, les pnpiors quo jo vous adresse ci-joint m'ont été envoyés, depuis un jour, parlcD' Scarlirougli. J'imagine, à les voir, que M. Freniele a chez lui une grandcTable de nombres (carrés, cubes, etc.) avec la décomposition en facteurs premiers de la somme de chacun d'eux et de ses parties aliquotcs; ce qui lui rend aisées de pareilles solutions, presque à la simple inspection, en suivant d'ailleurs la méthode que vous avez dernièrement indiquée pour résoudre ces problèmes et qui est universellement applicable à tous ceux de même nature. Mes hommages à votre femme, et soyez bien assuré que je suis,

Sir, votre très fidèle ami et humble serviteur,

BnOUNC.KKR.

G/if) avril iCiSS.

LETTUE XXXI.

Fremcle a Kenelm Digdy.

Voici, comme vous me l'avez demandé, très honoré Chevalier, ((uelqucs solutions du problème du clarissime savant Wallis; il n'y a pas là toutes celles qui se sont présentées à moi, car elles sont si nombreuses que je n(> serais pas parvenu à les écrire. Pour plus do brièveté, j'avais jugé à propos de réduire le calcul à peu de nombres qui devaient me les fournir; mais de ce peu de nombres j'ai vu sortir tant de solutions si variées que j'ai été obligé d'y mettre une borne, car les premières en faisaient naître toujours de nouvelles, indéfiniment diversitiées; de la sorte, je n'ai pu, en aussi peu de temps, les ranger dans l'ordre que jo m'étais proposé, ce que je ferai, avec l'aide de Dieu, au premier jour.

Voici quel était le problème : Trouver deux carrés, tels que chacun

COMMEKCIUM DE WALLIS. 5W

d'eux, ajouté avec toutes ses parties aliquoles, fasse une même somme. (^ommo exemple étaient donnés les carrés iG et 21, dont chacun, ajouté à ses parties aliquotes, fait 3i. On en demande d'autres semblables.

Ainsi on ne demande qu'un couple d'autres carrés, ce qui ne présente évidemment aucune difficulté, si, pour ce problème, on admet les carrés multiples. Or Wallis n'aurait pas, pour lui, le droit de les refuser, puisque pour un certain problème de M. Fermât, relatif à un nombre, somme de deux cubes, à décomposer en deux autres cubes (comme 1729, somme des deux cubes i et T72S, peut être décomposé en deux autres cubes ']■>.() et 1000); puisque, dis-je, pour la solution de ce problème très facile, il s'est contenté de fournir des multiples de nombres communiqués.

Voici donc une règle qui permettra de résoudre facilement le problème de M. Wallis. Qu'on multiplie les carrés iG et 25 par un autre carré quelconque impair et non divisible par 5; on aura deux nouveaux carrés satisfaisant à la question. Ainsi les carrés des nombres 12 et i5, 28 et 35, 3Get45, !\\ et 55, 52 et G5, etc., forment des solutions. Qu'on ajoute, en effet, i» ses parties aliquotes chacun des (Uirrés i44 et 225, on a pour somme 4f>3. Les carrés 784 et 1225 font, de même, 17G7. Les carrés i 29G et 20-25 feront, toujours chacun avec les parties aliquotes, la somme 375 1; et ainsi des autres. Mais cette solution est indigne d'un mathématicien, et la question, entendue dans ce sens, est telle qu'elle n'aurait pas dû être proposée. Il faut donc croire que, dans son problème, M. Wallis a eu une autre intention, et qu'il s'attend à une autre solution, sans pouvoir consentira celle-ci.

Supposons donc le problème proposé comme suit :

Trouver deux carrés premiers entre eux, tels que chacun d'eux, ajouté avec ses parties aliquotes, fasse une même somme.

Voici maintenant les cotés de carrés satisfaisant à la question.

Si, en effet, on ajoute à ses parties le carré du nombre J2G, on a pour somme 187 i3i; de même, le carré du nombre \o-j, ajouté à ses

parties, donne la même somme i8- i3i. Après les six premiers conl)ies, cette somme est donnée par ses facteurs.

|N. lî. — Il a paru désirable, pour la commodité du lecteur, de résoudre en leurs facteurs les nombres composés donnés par Frenicle, et. en même temps, de /aire disparaître quelques fautes; on pourra ainsi, plus aisément, se rendre compte de tout le procédé et en examiner l'application. \

Somme.

>'\ 12G 457 5i3 (= ■>.7. ii).37.C>i .73.3(17)

Ciitus dus carrés.

Somme.

Cùtus (les carrés.

( = ii.47--283)

(= •>,'. 107. ^ii)

(-;.io:)