I.'jlO

(= 2*.3.ii .211)

i3oC()

1= ii.i(i3.>.83)

10 fiSG

7, 9. 19, 3i , 37, (il. I '7, i()9

[suii'aient ici 27 autres paires de carrés.]

On peut trouver davantage de couples de carrés, mais il vaut mieux passer à autre chose; car on peut obtenir la même somme en ajoutant à leurs parties, non soulcmentdcs carres pris deux à deux, mais aussi des carrés pris trois à trois, quatre à quatre, cinq à cinq, six à six, etc. et d'ailleurs premiers entre eux. J'appelle premiers entre eux des carrés pris trois à trois, quatre à quatre, etc., quand aucun nombre

COMMERCIUM DE WALLIS. 5i9

ne peut les diviser tous. Ainsi les carrés 9, iG, 2^tj, 824 seront dits premiers entre eux, parce qu'il n'y a aucune mesure commune aux quatre, quoiqu'il y en ait trois qui aient 9 comme commune mesure.

ylsscnihla^cs de Iroif carres.

Cotés ili'S carit'S. Si>miiic.

2( ■> SjS (— •'-. 1 1 . jj. iji) 1 jj 1 Ji 7J3 i33 (— 3-.73. iij. Ji .Gj. ioi)3) •294 80; ( = 33.67. ir.3) 307 /S J ( = 5.11.37.1)1)

Côtés (lus Ciirrcs. Snnimi'.

■)S97:54 ( — ■'..3'.G7. i(i3) 3i i8() 3o4 n(ii I47 [nombre inexact, auquel (ii4 )7o (—•>.."). 11.37. lu) '1 f''"'' subsliUior

73()-;iG3 (—- 3'. 1 1 .37.(17) ijSaoCa 9.71 931 1= 3-.7*. iy.3i.()7. 1093)]

\siinaient 2(j autres groupes de 3 carrés. \

Il me reste encore bien d'autres assemblages de trois carrés satisfaisant à la question et que j'ai bien trouvés, mais qne le défaut de temps ne m'a pas permis de ranger de façon, tri's noble Seigneur, à vous les présenter; de môme, pour les assemblages de quatre, cinq, six, etc., que vous recevrez, quand ils seront prêts, avec ceux de trois précités; cependant, pour vous donner au moins un ou deux exemples de ce qui; je vous promets, je mettrai ceux-ci en attendant les autres.

Axseniblni^cs de quatre carres.

Côtés des cai'rés.

(9.-.7.I07 =) «9960 Somme : 'o 4 '.I -'19 = 3.7. i3. 19.01 . i/>.7

I 2-. 3. 1 I . 19 =) ^OoS \^sid\'aicnl trois autres asseinhUiges par

I ! . :") . 1 1 . 1 9 — ) 3 1 3 j f/tiatre. ]

. lssci>i/ila^;cs par cinq.

'39 9 '4 38 1 710 (= ■.),.3. 3. 1 r . i3. 19.S). 137. 1 ji I iCJ 47'* '77 890 (= v. .5.7. 1 i .47. i<)7- i5i .■>.S3 ) i()7 i8(> 334 770 ( = 2. ).7. i3.83. 107. 137. 1 )i) 198 i\i 772 ()3i (= 3^.7 1 1 .47.C7. 107.283 ) 200 291 4 1 3 i'i3 (— 3'. 7. 13.67.83. 107. 137 )

Somme i3. 27.31 .37.(11 .73. 127. !()! .3(17. 11)93. 2 in I

(') Frciiiclc avait donnô, par lautc de copie, 279C1.

Asscni/zlir^rs jxir si.r.

79 ''**8 99i l'io f= 2.3.5. 1 1 . I <) . 2Ç) . i- A'i- . i Jy i »2 7iHo7fiorA (— v-.li. 1 1 . 1 j.io.îj.nji .)")()) <j-5 07') a()('){io ( = ■).. j.7.2<j.47.*)7-i<>7. i-'o)

98813 i|Ov- 11 (^ 9.-.7.r>.:(7.io7 i()i .:îj9)

io'5 397 593 or") ( — 3. '). 1 I . ij. 19. 17. 191 .3)9) i'2i iiCi l-'.j 3()j (= ). 7. 13.37. 107. 191 .3 ")9)

Somme 19. ■)7. 37. (il .('>7. l'^j. 199.9^1 .2197. .j/loi

Voici d'autres assemblagos de carrés par deux, trois, etc.

\.suwaient ici de nomhreu.r assemblages de carrés eiimyés plus tard, à sa\'oir : par deux, (>; par trois, 62; par quatre, 20; /)ar cinq, j; par six, 5; puis, par deux, .") ; par trois, 5; par quatre, 7; f)ar cinq. 3; par six, G; par sept, /j ; par huit, i ; /^ar neuf, i ; /«/?>, /?rtr cinq, 1 ; /j(7/- .vjj-. 3; par sept, 2; /ja/- /(;»>, 2; par neuf , 3; /?«/• f//.7-, 2; />ar oz/^c, i; /wr douze, 2; /?rtr treize, 2; /^ar quatorze, i; /wr quinze, i; />«r r//j:- /u'h/, I. ^'rtt c/v/ *a«.v intérêt de les reproduire tous, pour ne pas remplir plusieurs feuilles de nombres; cependant, j'en ai relevé le compte, pour ne pas paraître vouloir faire tort à l'auteur.]

\ll s'est d'ailleurs, dans la Lettre XLIII, excusé sur la hâte de so/i travail de nombreuses fautes de calcul ou de plume, qui se sont glissées dans ses chiffres; cette excuse est d'autant plus valable qu'une partie de ces fautes peut être du fait du copiste. Remarquons toutefois que Frenicle s'est écarté de la règle qu'il nous avait proposée, à savoir que les carrés fussent premiers entre eux. Cela n'a pas lieu pour les siens; quand, par exemple, il propose un groupe de si.r- carrés, il regarde comme su/Jisant qu'aucun même nombre ne divise tous les six, tandis qu'il n'y aura pas un seul couple de deux carrés premiers entre eux (ainsi qu'on le reconnaîtra immédiatement et comme lui-même l'avoue); c'est de la sorte qu'il a pu donner autant de groupes. En ce qui me concerne, dans mes solutions de la Lettre XXIX, pour composer les racines des carrés, je n'ai employé que les nombres premiers inférieurs à 1 00, jugeant i/iutde d aller plus loin ; et, dans ces limites, il n'y a pas d'autres combinaisons que celles que J'ai données. Toutes celles que Frenicle a données, ainsi que je l'ai vérifié,

comprennent au moins un facteur premier supérieur à \oo et pouvant aller jusqu'à prés de joo (comme si pour des nombres inférieurs la combinaison était impossible) . C'est ainsi qu'il a pu fournir autant de solutions. I