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1"). carré; donc 7 esl é du cube demandé.
\ ne donnent pas ilo ' carré.
» Los places vides dans ce Tableau sont celles ([iii ne correspondent » pas à des nombres premiers, comme le demande la règle; mais, ce » qui peut-être excitera votre étonnement, tous les nombres corres- » pondant ii ces places sont divisibles soit par 7, soit par 17. Kn tous )) cas, si j'ai bien calculé, il est certain par là (|u'au-dessous du » ntmibre cube de i iSo, soit i ^20 873 000, il n'v a ({u'un seul cube, » 343, qui satisfasse à la question, en ne comptant toutefois que ceux Il (|ui ont trois parties ali((uo(es, c'est-à-dire ceux auxquels la règle » est appropriée.
» En ell'et, le premier nombre que nous trouverions ensuite esl su- » périeur à i i.5o, tandis que le côté 7 du cube 3i'j, Irouvé par le pre-
Fermat. — Ml. 7 I
» mier carré, est précisément celui du cube donné par l'auteur comme » satisfaisant au problème.
» Maintenant, quand je pèse vos paroles : Prenant ensuite, etc. » (p. 556/7) ... sûrement au but, je n'ai aucun doute que le procédé » que j'ai indiqué ne soit plus facile pour atteindre le résultat proposé, » puisque je suis arrivé à i i5i en une heure et demie environ; et, si » j'avais eu sous la main votre Catalogue des nombres premiers, je me » serais épargné à peu près la moitié du travail. Aussi il vous sera » facile, si vous le jugez intéressant, de poursuivre la recherche pour » des nombres encore plus grands.
» Le calcul suivant indique comment j'ai trouvé cette règle :
)) Soit a' le nombre cube à trouver, a étant un certain nombre pre- » mier.
» Les parties aliquotes de ce cube sont i, a, a', dont la somme » avec rt' fait i -h a -h a' -h a'' , qui doit être égale à un carré.
» Posons donc
1 -h a + a- -\- a^ = [{i -^ a) b]- ; » divisant, de part et d'autre, par t + a :
I + n- = ( I + rt ) ^- ;
» d ou = />- OU a — I H = Ir.
» Mais, puisque a doit être un nombre premier, - pourra être
» divisé par 2 (haut et bas). D'ailleurs cette fraction, ajoutée à l'cn- >) tier rt — I, ne pourra, comme il le faut, donner un carré, si son dé-
» nominateur - + - n'est pas lui-même un carré. On tire de là une
» grande simplification, puisque tout d'abord il sulfit de fiiire que
))- + - soit carré, c'est-à-dire que « + i — ?.□ ou « = ■2n — i. C'est
» de là que j'en viens à dire dans ma règle : Qu'on prenne un carre
» tel que son double moins l'unité soit un nombre premier, et que je passe
» celui qui n'a pas cette propriété, comme ne pouvant servir pour le
» but proposé. Cet artifice permet de diminuer singulièrement le tra-
» vail, non seulement pour a\ mais encore pour les autres expres- » sions. »
» Voilà, mon très cher ami, à quoi mon temps s'est dépensé, en » sorte que, pour la solution de l'autre probliime, je n'ai rien qui vaille » la peine de vous être communiqué, non plus que pour les autres » modes de chercher les cubes, soit par a", a', a'-, etc., soit par «'/>'', » dans les cas où les parties aliquotes ne forment pas une progression, » comme dans les précédents. »
Quand j'ai reçu cette Lettre, j'avais déjà envoyé la mienne à Paris; mais j'apprenais qu'entre i et 1520875000 on ne peut trouver aucun cube, sauf celui déjà connu 343, en se servant de la voie la jdus facile, celle de a^; les autres voies par n", a", etc. ou a^W, a^l>\ etc., devant être regardées comme plus dilliciles, nous avons pensé, moi et 31. Golius, qui s'était également proposé de résoudre ces problèmes, devoir nous abstenir de recherches numériques ultérieures, jugeant que nous pouvions mieux employer de bonnes heures aux Mathématiques.
Peu de temps après, à savoir le 9 mars, j'ai reçu de la Haye une lettre du très noble Huygens, laquelle en renfermait une autre à moi adressée de Paris par 31. Mylon, jurisconsulte, et en même temps une page redemandée depuis par Huygens, qui m'écrivait là-dessus (') :
« Voici une lettre pour vous de notre ami Mylon, et aussi une page » dont il a voulu que je prisse également connaissance; je vous » prierai, en raison des questions de M. de Fermât, de me la ren- » voyer à votre commodité. »
Voici ce que contenait cette page (-) :
« M. de Fermât a proposé à tous les arithméticiens par M. Digby, » 1. Trouver un cube {voir page 3i i, lignes 21 à 25) .... la même » propriété.
( ' ) f'oir Corrcspondunce do Huygens, n" 375. (-) l'oir Con-cs[iontl;iiicc de lliiyycns, u" 37.i.
vm ŒUvr.ES de fermât. - traductions.
)) "2. On demande aussi {voir page 3i i , lignes 26 à 27) ... . fasse » lin cube.
» !\1. de Freniclc a résolu ces questions et M. Martin, qui en a les )i solutions, les l'ait iin|)rimer, à ce qu'on m'a dit.
). Depuis ( ' ) peu M. de Fermât a écrit ceci à M. de Frenicle.
|Suit la pièce LXXX de la Correspondance de Fermât, Tome II, ])age 333.]
» A quoi Î\I. de Frenicle a envoyé l'ordre qu'il tient pour résoudre » ces questions, dont le calcul est extrêmement long. »
Vm répondant là-dessus à Huygens et à Mylon, je priai M. Mylon de ])résenter àM. Frenicle mes très respectueuses salutations et en même temjis j'envovai la page 42G de mes Excrcilaliones, page (jue je venais d'avoir imprimée et où l'on peut voir conibien je lui portais d'égards, à ce point que, pour ces questions auxquelles mes autres études ne m'avaient pas permis de consacrer assez de temps, je témoignais que j(^ lui concédais volontiers la j)almc. Mylon répondit le 12 avril (-), et le 21 du même mois (•^), Huygens m'envoya de la Haye cette réponse, oîi, entre autres choses, il disait :
« J'envoie à !\I. de Zuyicchem les pensées de M. Frenicle touchant » les propositions numériques de M. île Fermât et vos solutions, et le » prie de vous en faire part. »
Voici quelles étaient ces pensées de iM. Frenicle (*) :
« M. Frenicle trouve que c'est plus tôt fait d'examinei' tous les Il cubes de suite pour voir ceux qui satisfont (qui est la (|uestion » proposée par M. de Format) que de se servir de la méthode de 1) M. Schootcn. Néanmoins, pour s'en servir, il donne ce théorème :
» Il n'y a aucune puissance dont la racine soit un nombre |)remiei'
{' ) (^orrosponilaiicc de Huygens, n" 1(71. (2) Foir Correspondance de Huygens, n" 382. ( ') loir Correspondance de Huygens, n° 380. t*) Correspondance de Huygens, n" 383.
COMMERCILIM DE WALLIS. oG5
» et l'exposant un nombre impairenicnt pair, (jiii puisse avoir un » quarré pour la somme de ses parties.
» Donc M. Schooten doit exclure ces nombres de sa méthode. Il en » peut oncort! exclure beaucoup d'autres, savoir ceux où les propor- » tionelb^s sont en multitude impaire, car leur somme ne sera point » un quarré et n'a pas besoin d'être examinée, si le nombre de la pro- » portion n'est pareil à '](), ujc) et autres dont il se trouve fort peu, » se trouvant plusieurs milliers de nombres où il n'y en a (|ue cin(( » ou six.
» Davantage le second nombre de la proportion continuelle doit » être un de cette progression (')
