I. 2. 4. 8. i6. 32. G4., 1.3.9. 27. 81. 243. 729., etc
les sommes 127, 1093, etc. ne sont pas carrées; mais je n'ai pas eu le courage d'entreprendre de plus longues recherches sur 7 proportionels et la fatigue des calculs m'a de même empêché de les tenter sur 10, i3, 16 ou plus de proportionels. Mais je n'en ose pas moins juger que, quoique les cubes en question doivent être en nombre infini, à ce que je pense du moins, personne ne peut en trouver facilement au delà d'un certain nombre, comme 5 ou G, eu égard à la grande distance (jiii les sépare. »
« M. de Fermât reconnaîtra d'ailleurs que le moyen de trouver ainsi ces nombres est infaillible, dès qu'il saura que, pour déterminer les proportionels précités, je me sers des expressions analytiques a', a", a", a'-, etc., ou s'il s'agit de nombres ayant 10, 27, 89, 48, 5i, (i3, (J9 ou 7J etc. parties aliquotes, je me sers, en outre des notations précédentes, de celles-ci : a'^b^, a^b^, a'b'\ a'^b'', a'-b\ a^lPc^ ou a'^b\ a^b^ ou a''b'\ etc., comme pouvant être utiles pour cette affaire, c'està-dire pour représenter les nombres cubes à trouver. Mais, comme ces expressions indiquent, pour trouver les nombres cherchés, des calculs encore plus fastidieux, je ne crois guère que celte voie puisse être heureusement tentée. Mais je n'ajouterai rien, car, en dehors des moyens indiqués, il n'en existe pas pour trouver certainement ces nombres, à moins que M. de Fermât n'ait peut-être imaginé, pour établir les égalités, quelques abrégés qui pourraient diminuer singulièrement l'embarras de cet examen; il ferait certes, en les communiquant, une chose qui me serait très agréable. »
(') Les mots en italique sont indiqués comme à supprimer.
558 ŒUVRES DE FEHMAT. - TUADUCTIONS.
« Do mémo pour résoudre la seconde question, où on demande un carre Ici que sa somme avec ses parties aliquotes fasse un cube, je ('herclie à partir de l'unité 3, 5, 7, 9, 11, i3, etc. ou davantage (en augmentant toujours par 2) de nombres en proportion continue, tels ({ue leur somme fasse un cube, et, pour second terme, j'essave un nombre premier quelconque, comme il est indiqué par
1 .a. a-, 1.(7 .a-, a^. a''.!. a. a-. a'. a''. a'^. a'', etc. »
Si, en effet, cette somme est un cube, le dernier proportionel sera le carré cbercbé. Ainsi je me sers de a-, a\ «", ta, a'", etc. pour trouver les nombres ayant 2, 4, 'j- S, 10 parties aliquotes, ou bien encore de a'-h^ pour ceux qui en ont 8, de a*h- pour i4 parties, a"!/' pour 20, «'//' pour 2.'\, n'-h'-c' ou a^b' pour ^G parties, etc. Mais, comme ces dernières expressions correspondent à des modes de recberches de plus en plus difficiles pour ces carrés, j'ai peine ii croire qu'elles puissent servir lieureusement pour parvenir au but proposé. »
)) En montrant l'existence de tous ces modes, par lesquels il est évident que l'on peut certainement obtenir les nombres cherchés, pourvu qu'on ne recule pas devant le travail d'examiner successivement, comme j'ai dit ci-dessus, tous les nombres premiers en commençant |)ar les plus petits, j'espère avoir satisfait pleinement au désir du clarissime Fermât. »
« Ecrit il Leyde, le 17 février iG.in, par moi, François van Scbooten, professeur de Mathématiques à l'Académie de Leyde. «
Suivent (') deux problèmes du même genre, proposés en retour à M. de Fermât :
« Premier prodlème. — Trouver deux cubes dont la somme fasse un cube ou, s'il ne peut les obtenir, montrer que le problème est impossible. »
« Deuxième PROBLÈME. — Montrer si l'on peut, ou non, trouver d'autres nombres parfaits que ceux que fournit la méthode d'Euclide (IX, prop. dern.), c'est-à-dire la progression suivant ta raison double. »
( ' ) Pièce 378 de la Correspondance de Hiirgeiix.
COMMKIICIUM UE WALIJS. 35!)
Voilà co (juo j'ai rôpondii alors, et les questions que j'ai proposées à mon tour.
En traitant ees questions, je m'étais seulement proposé d'indiquer à leur auteur la façon dont elles devaient être résolues. Il scrafaeile à votre perspicacité de reconnaître que j'atteignais ce but, puisqu'on ne |)eut donner aucun nombre ([ui ne soit pas soumis à quelqu'une des conditions précitées (comme on peut le déduire de mes Exercitalioncs, section 3), ou ne puisse être trouvé par les modes indiqués. Quant aux nombres eux-mêmes, ils ne me paraissaient pas avoir tant de valeur (jue la méthode pour les trouver certainement ne dût sulTire à M. de Fermât. C'est aussi ce que j'avais surtout en vue pour les deux problèmes ajoutés par moi, en sorte que, si les nombres cjue je demandais ne se rencontraient pas aisément, il sulTit de montrer l'impossibilité du premier problème, et de prouver que le second ne peut être résolu i)ar un moyen différent de celui d'Euclide. Mais à fout cela, rien que je sache ne m'a été répondu par M. Fermai, on dn moins aucune réponse ne m'est parvenue; je n'ai pas cru cependant devoir aucunement le presser à ce sujet, afin de ne pas sembler prétendre à une grande gloire pour la solution d'un problème qui n'a évidemment aucun usage, ni aucune utilité. Ainsi je ne sais même pas si M. de Fermat a reçu ou non ma réponse, ni quel jugement il a porté sur elle dans le cas où il l'aurait reçue.
J'avoue d'ailleurs qu'à cette époque il ne m'est venu à l'esprit aucun des abrégés qui auraient pu, comme je le croyais, servir à diminuer considérablement le travail; c'est pour c(da que je disais à Fermât, qui, sans aucun doute, devait posséder ces abrégés avant tout autre, que, s'il en connaissait de généraux touchant cette matière, il ferait une chose très digne de reconnaissance s'il voulait bien nous les communiquer.
Après avoir ainsi résolu les questions de Fermât, j'ai cru devoir les communiquer au clarissime M. Hudde et lui proposer de les résoudre. Voici ce qu'il me répondit, le 23 février, d'Utrecht où il était alors : « Quant aux questions proposées par M. Fermât et à la solution que
o(iO ŒUVRES DE FERMAT. - THADUCTIONS.
» vous en avez donnée, j'avoue que les problèmes ne me déplaisent » pas, mais qu'il n'en est pas de même de la raison par laquelle vous » vous elTorcez de me persuader que je dois, moi aussi, m'efforcer » d'en chercher la solution; à mon avis, ce qui est le plus nécessaire » et utile doit passer avant ce qui l'est moins; si donc j'ai encore » (juelque loisir h consacrer ii la Science, j'ai la confiance de pouvoir » le dépenser sur des questions, non seulement beaucoup plus utiles, » mais aussi beaucoup plus générales et plus intéressantes, cl qui » semblent promettre une gloire plus brillante au savant qui les étu- » diera. Aussi je n'ai pu prendre sur moi de m'appliquer à la solution » de ces problèmes; cependant, pour l'amour de vous seul, je me suis » résolu, au détriment de tous mes autres travaux, ii leur consacrer la » journée d'hier pour vous faire part de ce que je parviendrais ii dé- » couvrir, pour l'abrègement du travail, et cela dans le cas où vous » n'auriez pas encore envoyé votre réponse à Paris. '
» Voici la règle que j'ai choisie entre beaucoup et que j'emploierais » pour la solution de la première question, où il s'agit de trouver un » nombre cube, tel qu'ajouté ii toutes ses parties aliquoles, il fasse un » carré. Qu'on prenne un carré (en commençant par les plus petits), » tel que son double, moins l'unité, soit un nombre premier; que de » ce dernier nombre on retranche i, et qu'on multiplie le reste par le » carré que l'on a pris, ou bien, ce qui revient au même, par la plus » grande moitié de ce nombre premier. Si, en ajoutant i au produit, » on a un carré, le nombre premier précité sera le côté du cube » cherché.
« Par exemple :
COMMEHCIUM DE WALLIS.
Racine. Carré.
Doullll!
le carré
carré
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