LETTRE XXXIX
John Wallis a Kenklm Digdy.
La lettre que vous m'avez envoyée, très noble Seigneur, en date de Paris 4 mai. style nouveau, a été reçu par nous le 3 mai de notre style; autant j'ai été heureux de cette rapidité, autant j'ai regretté le retard qu'a au contraire subi la lettre que je vous ai adressée. D'autre part.
quelque plaisir que devait nécessairement me faire la vôtre, surtout en me témoignant la bienveillance que vous m'accordez et l'honneur que vous me faites, je ne puis vous dissimuler que sur un ou deux points je n'aie été fâché, et surtout en apprenant le mauvais état de votre santé. Qui sait ce que vous valez pour le progrès des Sciences doit nécessairement s'inquiéter vivement de votre santé, car il n'ignore pas ce qui en dépend. Mais la divine Providence sera à remercier de vous avoir conservé sain et sauf pour l'avantage des Belles-Lettres dont vous serez encore l'honneur et l'ornement. Je regrette encore, en lisant les éloges que vous me prodiguez et que je dois h votre bonté, non à mon mérite, d'être incapable non seulement de m'en rendre digne, mais mémo de vous en remercier comme je le devrais. Car la facilité de votre style, la vivacité de votre esprit dans le rôle de la bienveillance sont de telle nature que je ferais preuve de toute imprudence en voulant lutter là-dessus avec vous, en essayant d'égaler mes expressions aux bontés dont vous me comblez. J'avoue donc à quel point je suis impuissant et je me prosterne vaincu, n'ayant rien à répondre pour témoigner la gratitude de mon cœur humblement dévoué; croyez bien qu'elle est au-dessus de tout ce que je peux dire, accordez à mon aveu la grâce qu'il implore et daignez me continuer la faveur que vous m'avez jusqu'ici accordée. Je vais rapidement achever ce qui me reste à dire.
Pour la lettre de M. Frenicle, incluse dans la vôtre, je me plais h en reconnaître l'amabilité, mais je n'ai guère à y répondre si ce n'est pour le remercier de l'opinion qu'il a désormais conçue et qu'il professe sur mon compte. J'admets avec joie l'excuse ou la défense qu'il présente pour ses lettres antérieures. Je ne disputerai pas pour le voir encore juger d'entêtement hors de saison ce que j'ai regardé comme une juste défense de moi-même; ni pour le voir douter encore si je puis répondre aux deux premières questions de Fermât; quand il aura pesé mes lettres des 4eti5 mars, ce doute s'effacera. Enfin je n'examinerai plus si dans ses lettres précédentes il a, oui ou non, nié que l'unité fût un carré ou un cube. Tout cela ne vaut pas la peine de contredire ce
très noble Seigneur. Enfin notre question (de carrés qui, ajoutés à la somme de leurs parties aliquotes, fassent une même somme), que nous avions jadis proposée en passant à Fermât, je vois, par une lettre récemment reçue, que Frcnicle l'a résolue et qu'il y a même attaché beaucoup plus d'importance que je ne l'aurais fait. Mais on devait bien attendre qu'il la résolût très facilement, puisque la solution dépend tout à fait des mêmes principes que celle des questions de Fermât qu'il avait déjà trouvée.
Je ne pense pas non plus devoir longuement répondre à la lettre de M. Fermât. Deux points suffisent. D'une part, il dit que j'aurais avancé, ou au moins que je n'aurais pas douté que mylord vicomte Brouncker ne puisse résoudre, pourvu qu'il veuille s'y essayer, ce problème du cube donné à partager en deux cubes rationels. Maintenant il affirme que la proposition est impossible, et je me serais donc avancé à la légère et bien témérairement. Je répondrai à votre clarissime Correspondant qu'il ne cite pas exactement ce que j'ai avancé; car il passe sous silence ce que j'avais ajouté : du moins en tant que la nature de la chose peut le permettre. Si j'avais précisément fait cette addition, c'est que je soupçonnais déjà de prime-abord que la chose était impossible; mais, ne l'ayant pas examinée, je n'avais rien à afTirmer. Je ne parlais donc de solution que suivant ce que permettait la nature de la question, c'est-ii-dire l'exécution si la chose est possible, sinon, la reconnaissance de l'impossibilité. Au reste, je ne me trompais pas dans mes conjectures, puisque, bientôt après, le très honoré Lord me faisait entendre ce que dit maintenant Fermât. La lettre qu'il m'écrivit particulièrement porte, en effet :
« Sir, cette nuit passée j'ai reçu votre Votre opinion concer-
» nantM. Fermât est effectivement la même que la mienne, spéciale-
» ment au sujet de son dernier papier Ses déterminations négatives
» sont, h mon avis, sa plus grande gloire, et c'est là où il se regarde » lui-même comme singulier. Autrement il ne proposerait certaine- » ment pas une chose impossible comme : Partager un nombre cube » donné en deux cubes rationels, ce qui ne se peut. Cette question ne
» doit pas être confondue avec l'autre, déjà résolue au moins de plu- » sieurs manières, par M. Frenicle, comme vous savez
Le second point concerne ce que M. Fermât dit des hyperboles; il pense que je n'ai pas foi à ses assertions sur le centre de gravité dans les hyperboles infinies. C'est tout le contraire; je n'avais aucun soupçon que votre très noble Correspondant n'eût pleinement dit la vérité en affirmant qu'il avait approfondi ce sujet depuis de longues années, au moins dans les hyperboles entières et peut-être aussi dans les semihyperboles, quoiqu'il n'en eût pas encore parlé. Je ne doute pas davantage qu'il ne puisse résoudre la question ci-dessous qu'il propose; je crois amplement qu'il a nombre d'excellents théorèmes, soit sur les hyperboles, soit sur les autres matières élevées de la Géométrie, soit même en Arithmétique, et il en a déjà donné assez de spécimens.
Voici la question qu'il propose : Etant donnée la vraie hyperbole ABC (/ig. 5), ayant pour asymptotes N]\I, NO, à l'une de celles-ci, soit
Fis. 5.
NO, on mène des parallèles MA, HB. On propose de couper la figure AMIIB (limitée par la ligne hyperbolique et les trois droites A.M, MH, HB) au moyen d'une droite QR parallide à HB et MA, en sorte que le segment RQHB soit au reste AMQR en raison donnée.
Voici ma solution : Si la raison est énonçable en vrais nombres entiers, soit comme de 3 à 2 ou de a à e; entre les droites NH, HM, on cherchera autant de moyennes proportionelles (du moins celle qui sera utile de ces moyennes) qu'il y a d'unités dans la somme des deux nombres moins i (par exemple, 4 = 3 + 2 — i ou a -1- e — i); soit de
COMMERClllM DE WALLIS.
CCS moyennes NQ la 3"* (ou celle dénommée par a) à parlir de NH, ou la 2""' (ou celle dénommée par e) à partir de N3I. Je dis que la droite QU, menée parallèlement par Q à HB ou à MA, résout le problème. Si, au contraire, la raison n'est pas énonçable, on pourra obtenir une approximation au moyen des logaritlimes, mais non pas une solution rigoureusement géométrique.
Quant au reste, ou j'en ai déjà suffisamment parlé auparavant, ou bien on peut le passer sous silence. Je n'ai, en effet, pas le loisir et je ne crois pas intéressant de descendre aux minuties de détail.
Cependant, pour donner un retour à votre très noble Correspondant, je désire lui proposer une question qui ressemble à la sienne ci-dessus et qui n'est peut-être pas moins élégante.
Étant donnée la conchoïde AO (/ig. G), dont A est le sommet, P le polo, CRH la règle (coupant a angle droit AP au point C), on décrit de C comme centre le quart de cercle AR du côté OH.
On propose de décrire une figure de même genre que la figure conchoïde indéfinie OARH (entre la droite RH indéfinie, la conchoïde AO indéfinie et le quart de cercle AR), telle que cette nouvelle figure (oapY) soit en raison donnée avec la proposée.
Ou, s'il préfère un énoncé sous forme de théorème, pour ne pas sembler proposer des énigmes, je dirai :
Le rapport de la figure conchoïde indéfinie OARH à une autre (juelconque coapy) du même genre est composé des rapports CA à xa etCP à x-ir (les lettres a, x, -, p, q, w dénotant dans une figure les mêmes
58i ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.
points que dans l'autre A, C, P, R, H, 0), quelle que soit d'ailleurs la variation du rapport des droites AC, CP.
Je lui communiquerai, s'il le désire, soit la recherche, soit la démonstration.
H me reste encore à vous dire, très illustre Seigneur, que je comprends par votre lettre que les deux personnages avec lesquels nous avons eu affaire sont très considérables. Il se peut donc bien qu'un étranger comme moi, n'étant pas suffisamment au courant des choses et des dignités de ce pays, les ait traités un peu plus familièrement qu'il ne convenait ii leur dignité, que j'aie agi d'ailleurs pour mon compte ou pour celui du très honoré Vicomte. Si j'ai fait quelque faute de ce genre, c'a été contre mon gré et j'espère que vos très nobles Correspondants, qui ont daigné d'eux-mêmes descendre avec moi dans l'arène, ne s'en prendront pas à quelqu'un plus habitué à la poussière des écoles qu'à celle des Cours. Que cette excuse me serve aussi à votre endroit, si j'ai pu me rendre coupable envers vous, car en tout je voudrais avoir observé les lois de la convenance, en tant que je suis.
Très illustre Seigneur,
Votre très humble et très obéissant serviteur,
John Wallis.
Oxford, 5/i5 mai iG58.
