ED = AD + RD + CD

Or c'est ce qui a été démontré par le lemme précédent.

lU. 4-2 1

LIEUX PLANS D'APOLLONIUS

Mi

Je ne m'arrête pas aux divers cas. — Si l'on donne cinq points, la somme des carrés des distances des points donnés au point N dépasse de 5DN- la somme des carrés des distances des points donnés au point D : la démonstration est la même.

Il ressort de là que la somme des carrés des dislances au point I) csl Miininia.

Dans cet exposé, je n'ajoute pas une trop scrupuleuse oi)st'rvaliiiii des difTérents cas. La conclusion du second lemme se ramènera loiijours il prouver que la somme des rectangles en plus est égale ii celli' des rectangles en moins, et la question sera ainsi ramenée au premier l(>mme.

PuEMuaiF. l'r.oi'osniON gknkuai.k. — Soient, sur la même ligure, toujours donnés quatre points A, B, C, E sur la droite AE, el

Al) = i(AB + AG + AE),

IVaction conditionnée. On pr()[)Ose, étant donnée une aire Z, de trouver tut cercle, tel (juen prenant sur la circonférence un point (juelconiiuc. Ut somme des carres fie ses distances aux points donnés soit égale à l'aire donnée.

Pour que le problème soit possible, il faut, d'apri's ce qui a été démontré, que l'aire Z > AD^ + BD' 4- CD'^ + ED^

Soit donc 4DN- égal ii l'excès de Z sur la somme des quatre carrés; le cercle décrit de D comme centre avec DN |)our rayon satisfera ii la question.

En elfet, prenons d'abord le point N {fig. 39) de l'un el de l'autre

coté.

a été prouve par le second lemme que

AN--t-NB' + CN5+EN'— AD'4-BD»4-CD2+ ED»+ ^DN';

ko ŒUVRES DE FERMAT. [42, 43]

mais AD^ -h BD= + CD* + ED* + 4DN= = Z. Donc

AN^-h BN-+ CN2+EN-=Z l'aire donnée. c. q. f. u.

lilevcz maintenant la perpendiculaire DM et joignez AM, BM, CJVl,

VM. Je (lis que la somme de leurs carrés est égale à l'aire donnée Z.

JMi elVet

AM' = AD' + DM=,

BM'=BD'-+-DMS

CM' = CD- + DM%