I -;-Vc>(" — I) = 11^— [il — i

La somme do /j hexagones conlraiix conscculifs (des côtés u à n^p — 1) sera doiin

Demander qu'elle fasse un cube, revient donc à proposer de résoudre en nombres enlicrs ré(piation

{il -^ p — i)' — (// — \y^~q^.

Frenicle exclut naturellement la soUilion n — i, p — (j.

(.OMMEHCILÎM DE WALLIS. 60!)

fail (ju'ils aient absolimicnl lu-i^ligé les questions pour les(|uell('s ils n'ont pas été devancés par les nôtres.

Ia' troisième théorème général, (|ui peut être conçu sous t'ornic de problème, était le suivant : Tout nomhrc donné somme de deux cubes peut être partagé en deux autres cubes; ou si vous préférez la proposition comme problème général : Un nombre somme de deux cultes étant donné, le partager en deux autres cubes. Nous pouvons faire varier ce partage à l'infini. Or pour ce problème aucune règle générale n'a été fournie, comme nous le demandions, et dans le cas particulier du nombre donné 9, au lieu de le donner comme somme, l'c qui demande une profonde et abstruse recherche, il n'a été donné (|ue comme difTérenee; chose à laquelle ni Viète ni JJachet sur Diophante n'ont trouvé aucune dilficulté, tandis (ju'ils n'ont pas même abordé notre [)roblcme, qu'au contraire ils semblent l'avoir trouvé très difficile.

Enfin il y avait un quatrième théorème général négatif : 11 n'y a en nombres aucun triangle rectangle dont l'aire fasse un nombre carré, l/auteur du Commcrcium estime qu'il en a donné la démonstration à la dernière page de son Livre ('); mais nous n'avons pas davantage pu y découvrir aucune démonstration. Il su[)pose, en elTct, comme moyen de démonstration le théorème suivant : La différence de deux carrés et leur niovcn proportionel ne peuvent être des plans semblables [c'est-à-dire des nombres dans le rapport de deux carrés entiers |. 3lais ce n'est là que prouver ce qui est obscur par une autre assertion encore plus obscure ou au moins aussi obscure. Nous reconnaissons à la vérité comme exact ce théorème su[)posé, mais je ni; vois pas [)ourquoi l'auteur du Commcrcium n'en a pas donné la démonstration qui certainement présente autant de dilficulté que celle de l'énoncé proposé.

Vous voyez ainsi quels scrupules ccl auteur doit encore écarter pour rcunporler sur les nôtres une victoire complète. Sans aucun

( ' ) LcUro XLIV, page Goo.

Fkkmvt. — Ml. 77

douU' il a déjà accompli la plus grande part de la route, et, contre co Samson, les Philistins n'ont plus ni cachette ni refuge assez sur. Ohlenez donc que des héros aussi justement célèhres délogent encore, de ces (juatre derniers retranchements ii peine solides, leurs adversaires déjà épuisés et chancelants; cela fait, les vôtres auront pleine vicloire et |)lein triomphe, de l'aveu même des nôtres. En tous cas vous me trouverez toujours aussi dévoué et obéissant à vos ordres et je ne le serai pas moins à l'égard de nos adversaires.