RÉPLIQUE ANONYME AU COMMERCIUM

[A l.i suite de l'exemplaire VgiS du Cominerciuin EpLtlolicum de Wallis à la Bibliothèque Nationale, et dans l'un des manuscrits de Boulliau (Bibl. Nal. rianç. n" 130iO) se trouve un imprimé anonyme de trois pages sur une demifeuille petit in-4". Cetle pièce, qui constitue une réplique au Conimercium, étant très rare ('), j'en reproduis ci-après le texte latin, suivi de la traduction. Quant à l'auteur, si la question est posée entre Frenicle et Fermât, il ne peut guère, ce semble, y avoir de doute, quoi(|ue Libri ait hésité un moment {voir Tome 1, Avertissement, pages xxui, lignes 9 à 12), et que, dans ses Reclierchcs sur /es niani/scrils de Fermât, M. Ch. Henry se soit, contre Libri, prononcé en faveur de la seconde hypothèse. J'estime, en effet, qui; Fermât doit être absolument écarté, si l'on considère le fait même de l'impression, le ton de la réplique, enfin certaines particularités de roilho|:?raphc; tout, au contraire, nous indique Frenicle, si ce n'est ([u'eu tous cas l'auteur aura voulu déguiser sa personnalité. C'est, en effet, Frenicle lui-même f|ui est désigné dans la pièce sous l'initiale « F. », tandis que Fermât est indiqué par l'expression « amicus noster ». On no peut donc exclure absolument la possibilité que l'imprimé anonyme soit dû à un troisième mathématicien français, plus ou moins lié également avec Digby (par exemple, Carcavi, Mylon ou Martin de Laurendière); mais il aurait alors été au moins inspiré par Frenicle; la [)ièce doit donc valoir comme de ce dernier.]

IlLUSTRISSIMO et CLARISSIJJO VIRO I). K. I) (').

Comnicrcii Epistolici tandem data nobis tuo bcneiicio est copia, in qua primuin illud inquironduin venit an in commercium publicuiii caderc debucrint epistola; privât*, non solum non conscntientibus, sed ne suspicantibus illud quidein aut scicntibus earum autboribus : bac enim in re aliquain saltem juri gcntium vim factam nemo merito inficias eat. Sed nil forsan expedit quaestionibus mathematicis ethicas

(') La réédition, donnée par M. Ch. Honiy dans ses Reclierchcs (pages 178 à 180), a clé laite, en réalité, sur une copie d'Arbogast, cl présenle par suite quelques inexactitudes. (*> U(omino) K(cnelm) D(igby).

immisccri : detur itaqiio vcnia illustrissima^ et doctissimse nationi, quse gloriam suam iiitra septa nimis angusta noliiit coiiliiiere. Yicit nompe amor palriœ, cujus fainam extonderc enixc semper et ciipiiinl et laborant boni cives. Sed an ipsi satis liac in parte ab illis consiiltum sil, videntur aliquantulum aniljigcre nostratcs et ad illiid poêlas tentabundi licetac dubitabundi, quadamtcnus rcspicere.

Quondam cliam victis redit in praîcordia virliis, Victoresqiic cadinil Daiiai (') ....

An autem inslaiirare ipsis pradiiim liceat aut, aii(|ua salteni raliono, Victoria! a se dcdccus amoliri, tunni (Vir clarissiinc), postqiiam luec paucissima legeris, erit jiidicinm.

Quœ liactenus viris vestratibus proposila siinl, in dnas commode spccies dividi possunt : vcl enim in proi)lcmata specialia, vol in thooreniata aut prol)lemata univcrsalia et generaiia. Ad priorem speciom spectanl probicmata de partibus aliqnotis, et spéciales qiia^slionis de (juadratis unitato diminutis casus. lloriim legitimam soliitioneni ab ipsis accepimus : atlamen priccesserat libellns Domini F. (-), ciijns ope cum facillimum fuerit numéros ab ipso exliibitos àvaÀûstv ('■'), (\i constructionis Ibrinam et proccssuin inde nullo negotio elicere, èîtéyoudi (') nonnulli et, ad removendum, si quis sùpersit, seriipiiluin, deiuonstrationes tbeorematum generalium, qua* est secunda propositarum quaîstionum species, et in qua nullum aut spécimen aul auxiliuni à nostris liabuerunt, ab ipiiis merito exposcunt : qua in parte quid aut tentaverint aut produxerint vestrates, en accipe :

Theorema praecipuum hoc erat : Dato quovis numéro non (juadrato in integris, dantur inlinili quadrati in integris, qui in datum numcrum (lucti, adscita unitate, conficiunt quadratum. Verba autem in iii- /egris hic addimus; licct enim, ex iis qua? in scripto amici nostri ( ' )

(') Virgile, Eiiéulc, II, 3G7-8.

(-) La Solntio duorain prolileinatain etc. qui esl perdue.

( ^) àvaXûiitv I.

(') SKEyOt I.

(') Pièce 81 do la Correspondance de Fermât : traduction ci-avant p. Ji-."..

COMMKHCIUM DE WALLIS. 005

praïcpsscrant, lucc clarius sit de iiitogris tanluin ibi quicstioncm ossr, (ollcrc tamen omnino ambigua non gravamur. IIujus ihcoromalis tlcmonstralionem facilcni sibi aulhor ('.ommorcii asserit j)aginis82 ot8,'>; inio hanc ibi continori diserte innuit; scd analystio nostri no vestigiunn quidem demonstrationis illic agnoscunt.

Secundum theorema nogativum hoc erat : Nullus numcrus cubns in duos cubos nationales dividi potest. Hujus cum demonstrationeni non dederit F. in libcUo à se anno iGj^ cdito ('). — licet in eo quseslioncni proposucrit liuic consimilcm his verbis : Invcn.irc 2 vel '^ vri '1 etc. hexagona (-) centralia quorum latus unilatc tantum diiïerat, el ooruin summa sit lïqualis cube. Qu;cstio cnini illa ad problema nos- Iruin (■') reduci potest, in quo datum cubuni iu duos cubos rationab-s dividcnduni proposuinuis, modo unitas, ut vult ipse F. exhcxagoni ( ' ) definitione, inter haec hexagona (^) non coniputetur; — debuerani vcstrates luiic statim demonstrationi incumbere. Sed nescio qua rationc factum sit ut neglexerint omnino ea in quibus nostrates ipsis non prœiverant.

Terlium theorema générale, quod sub forma problcmatis conci])i potest, hoc erat : Datus quivis numerus de (') duobus cubis compositus in duos aiios cubos est divisibiiis; — vel, si problema universalc proponendum mavis : — Datum numcrum ex duobus cubis coinpositum in duosalios cubos nationales dividere; quse divisio per nos potest intinities variari. Huic autem propositioni non tantum canon nullus generalis datus est, quem tamen inquirebamus, sed in speciali problcmatis in numéro () propositione, loco suminaj qua' profonda' et abstrusœ est disquisitionis, data est differentia tantum; in quo casu nullam aut Vieta aut Bachctus in Diopliantum agnoverant difficultatem.

(') La Solutin prcccdemiiionl mcnlionnce. (2) Exagona 1.

(') Le problcino avait élc propose par Formai (Lollrc LWXllI, iradiielion oi-avai\i p. 3i3), mais iiostrum doit s'entendre : « do noire compatriote ». (*) lîxagoni \.

(5) Exagona I.

(6).SVcl.

cuiii probloma nostrum ne attingcrint (') quidem, imo illud diiïicilliinum videantur judicasse (-).

Quartum problema negativum hoc erat : Nullum in numcris est Iriangulum rectangulum cujiis area sit numerus quadratus. Hujus (Icmnnstralionem existiniat autlior Commcrcii dédisse in pagina siii lihelli iiUima : scd ne hic quidem demonstrationem uHam deleximus. Supponit quippe pro inedio demonstrationis theorema sequens : Differenlia duorum quadratorum atque eorumdem médius proportionalis non possunt esse plani similes : quod nihil aliud est quam obscurunt per obscurius aut saltem aeque obscurum probare. Licet enim verun» nobis esse constet theorema illud suppositum, cur tamen iltud non demonstraverit author non video, cum non minorem ipsius demon^ stratio, quam demonstratio theoremalis, habeat dilficultatem.

Vides itaque (Vir Chirissime) quos cvelli nostratibus scrupuios al> authore illo oper» pretium sit, ut omni ex parte victoriam consequatur. Major certe (') viœ pars ah ipso jam pcracta est, nec Pliilistinis ulla satis tuta iatcbra aut effugium est contra Samsonem. KlFice (') igitnr (Vir Clarissime) ut tanti et tam célèbres vtri fractos jam et iabantes adversarios ah bis quatuor vix satis fidis propugnaculis actutum dejiciant, quo peracto plen^e vcstratium victoriae, consentientibus vel nostratibus, plenus etiam triumphus acccdet. Ne(r addictum me minus aut jussis vesiris obsequentem aut tu, Vir Illustrissime, aut ipsi quoque in posterum expertentur. Vale.

A l'illustrissime et clarissime Sir Kenelm Digdy.

Grâce à vous, nous avons entiii entre les mains ce Cornmcrciiun épislolicurn qui soulève une première question, ii savoir si des lettres particulières auraient dû être livrées au public non seulement sans l'aveu

(' ) l,isc7. niligeritit.

(*) indicasse I.

(') cerlîc I.

(») EfRge I.

COMMEUCIUM DE WALLIS. fi07

(le leurs auteurs, mais même à leur insu et avant qu'ils en eussent conçu le moindre soupçon; personne ne pourra contester à juste titre que dans cette occasion le droit des gens n'ait au moins subi une certaine atteinte. Mais il ne faut peut-être pas mêler des questions morales h des sujets mathématiques; souffrons donc une pareille licence à une illustre et savantcr nation, qui n'a pas voulu limiter sa gloire par des barrières trop étroites. C'est l'amour de la patrie qui l'a emporté; les bons citoyens désirent à tout prix étendre sa renommée et consacrent leurs efforts à ce but. Mais a-t-il été, dans ce cas, complètement atteint? Nos compatriotes semblent quelque peu en douter et. quoique avec hésitation et sans assurance, se rappeler ces vers du

poète :

Mais parfois le courage revient au vaincu, El le Grec irionipliant suceonibc à son tour.

Peuvent-ils renouveler la lutte ou, pour quelque motif au moins, éviter le déshonneur de la défaite? Il vous appartiendra d'en juger, quand vous aurez lu ces quelques lignes.

Ce qui, jusqu'il présent, a été proposé h vos compatriotes peut être aisément distingué en deux classes de questions : d'une part, les problèmes particuliers, de l'autre, les théorèmes ou problèmes universels et généraux. Dans la première classe rentrent les problèmes des parties aliquotes et les cas particuliers de la question sur les carrés diminués de l'unité. Nous avons reçu d'Angleterre une solution légitime pour tous les problèmes de cette classe; cependant elle avait été précédée par l'opuscule de M. F(reniclc), grâce auquel il était très facile d'analyser les nombres qu'il avait donnés et de déduire ainsi sans aucune peine le mode et le procédé de construction. On peut donc suspendre son jugement et afin d'écarter tout scrupule, s'il eu reste, réclamer à bon droit de vos compatriotes les démonstrations des théorèmes généraux qui constituent la seconde classe des questions proposées et pour lesquels ils n'ont eu de notre côté nî modèle ni secours. Or qu'ont-ils tenté ou produit à ce sujet? Je vais le dire.

Le principal théorème était le suivant : Étant donné un nombre

(i08 ŒUVKES J)E FEUMAT. - THADUCTIONS.

entier non carré, on peut déterminer une infinité de carrés entiers, tels que le produit de chacun d'eux par le nombre donné, après addilion de l'unité, fasse un carré. J'ajoute ici le mol entiers; quoiqu'en efl'et, d'après ce qui précédait dans l'écrit do notre ami (Fermât), il soit plus clair que le jour que la question portait seulement sur les nombres entiers, je n'ai aucune raison pour ne pas écarter désormais toute ambiguïté. Or l'auteur du Commercium afTirme, pages 82 el H'^C), qu'il peut facilement démontrer ce théorème; bien plus il l'ait entendre que la démonstration est expressément contenue dans ce passage; mais nos analystes ne peuvent en reconnaître aucune Irace.

i.c second théorème était celui-ci : Aucun nombre cube ne peut être partagé en deux cubes rationels. Dans l'opuscule qu'il a ])ublié en iGSy, F(renicle) n'a pas donné la démonstration de ce théorème; cependant il y a proposé une question analogue en ces termes : Trouver deux, trois ou quatre, etc. hexagones centraux, tels que leurs cotés dilîèrent seulement d'une unité et que leur somme soil égale à un cube (-). Cette question peut en effet se ramener au problème précédemment énoncé, partage d'un cube donné en deux cubes rationels, pourvu que l'on ne compte pas l'unité parmi les hexagones centraux, ainsi qu'au reste l'entend F(renicle) d'après sa détinition de l'hexagone. Vos compatriotes auraient donc du s'attacher aussitôt à chercher la démonstration désirée; mais je ne sais comment il se

( ') Voir ci-avant pages 435 ù ^V>.

( *) Frcniclo entend par hexagone central de colé //, le nombre