RECHERCHE DU MAXIMUM ET DU MINIMUM
Tdulc la llirorie do la roch('r(;lit' du maximum et du miuimuiii su|i- |)(is(' la posiliou de deux inconnues et la seule règle que voiei :
Soit a une inconnue (juelconquc de la question (qu'elle ait une, deux ou trois dimensions, suivant qu'il convient d'apri'S l'énoncé). On exprimera la quantité maxinui ou miniiiia en a, au moyen de termes qui pourront être de degrés quelconques. On substituera ensuite (i -\- c à l'inconnue [)rimitive a, et on exprimera ainsi la (|uantilé maxima ou minima en termes où entreront a et c à des degrés quelconques. On adégalcra, pour parler comme Diophante, les deux expressions de la quantité maxima ou minima, et on retranchera les termes communs de part et d'autre. Cela lait, il se trouvera que de part et d'autre tous les termes seront affectés de e ou d'une de ses puissances. On divisera tous les termes par e, ou par une puissance de c d'un degré plus élevé, de façon que dans l'un au moinsdcs termes de l'un (juelconque des membres e disparaisse entièrement. On supprimera ensuite tous les termes où entrera encore c ou l'une de ses puissances et l'on égalera les autres, ou bien, si dans l'un des membres il ne reste rien, on égalera, ce qui revient au même, les termes en plus aux termes en moins. La résolution de cette dernière équation donnera la valeur de «, qui conduira au maximum ou au minimum, eu reprenant sa première expression.
l'EuiiAT.— iM. 16
122 (KUV m: S DE FERMAT. [134, 135 |
Voici un exemple :
Soit àpartai^rr /a ilrnilr A(! (/ig- 91) ci I'^ f« softe (juc AE X l'IC sait
maxiinum.
Fis- >)'•
Posons A(- -= Z^; soit rt nn <les segments, l'aiilre sera h - a, cl le produit dont on doit trouver le maximum : ha — a-. Soit maintenant rt -f- r le premiei- serment de l>, le se(;ond sera h ^ a — c, el le produit (les segments : ha — a- -+- he — 'lae — e'- ;
H ddil èlre a(U'gak' au prëccdenl : ha — a" ;
Su[)priniant les termes r.ommuns : /«' 00 u ac + r'- ;
Divisant Idus les termes : Ix^r^-ia 4- e;
Supprimez c : ^ = 2<«.
Pour résoudre le prohléme il faut donc prendre la moitié de h.
W est impossible de donner une méthode plus générale.
DES TAMiEXTES l)i:S LIGNES COUllBES.
Nous ramenons à la méthode |)réeédente l'inventicm des tangenlt-s en des points donnés à des courltes queleonques.
Soit donnée, par exemple, la parabole 15I)N {fig. [)">.), de S(uume( I),
iMg. ;,■!.
de (liami'lre OC; soit donné sur (die le point H, par lequel il laut UKuier la droite \\\i tangente ii la parabole et rencontrant h; diamètre en \l. Si l'on prend sur la droite 1?R un point quelconque O, dont on mène
[135, no ] MAXliMA ET MINIMA. 123
l'onldiiiu'c 01, en inéiiu' Iciiqts ([iic rordctniiéc HC du |i(tiiil H, on aura : HT-^dF' l'i''^'!"^'*' ''' ['"iiil Ocst exléi'ioiir ii la [)aralMi|i'. .Mais
■TTp = î-jT,- > a caiist' uc la siiiiiliUKic des Iriaiiglos. Uuiic r >• .^,-
Or le [)oiiil B est donné, donc l'ordonnée BC, donc le point (1, donc CD. Soit tlonc CD = r/. donnée. Posons Œ = a et (J=r; on aura
(l — e «- -h ('- — ■? (ic
Faisons le [ii'odnit des moyens et des extrêmes :
da"- -\- dc'^ — 2 dae > da- — a"-c.
Adégalons donc, d'a[)rés la méthode précédente; on aura, en retranchant les termes communs :
du- — 1 dae <^'—-a-c,
ou, ce qui l'cvient au môme :
de- + rt- e on 2 dae.
Divisez tous les termes par c :
de -t- fl-txo ida.
Supprimez de : il reste cr =-- -ida, donc : a = id.
Nous prouvons ainsi que CK est double de CD, ce qui est conforme à la vérité.
Celte méthode ne trompe jamais, et peut s'étendr(; à nombre de questions très b(dles; grâce à elle, nous avons trouvé les centres de gravité de figures terminées par des lignes droites et courbes, aussi bien que ceux de solides et nombre d'autres choses dont nous [lourrons Irailcr ailleurs, si nous en avons le loisir.
Quant à la quadi'ature des aires limitées par des lignes courbes el droites, ainsi ([u'an rapport que les solides qu'elles engendrent (uit aux cônes de même base et même hauteur, nous en avons déjà longuement traité avec M. de Roberval.
CENTRE DE GlUVITÉ DU mxoiDE PARABOLIQUE,
D'APRÈS LA .MÈMIÎ .MrniODl'.
Soit CBAV {fig. c)j) un connidc parnI)oli(iii(', nyaiil pour axe lA, et pour base un cercle de diami'tre (IIV. CJicrclions son centre de gravité par cotte méthode touionr-^ et toujours la inënie, qui nous a servi pour
les inaxima, les minima et les tangentes des lignes courbes, et prouvons ainsi, par de nouveaux exemples et [)ar un nouvel et brillant emploi de cette méthode, l'erreur de ceux qui croient qu'elle peut être en défaut.
Pour pouvoir arriver à l'analyse, posons I.V = h. Soit 0 le centre de gravité; appelons a la longueur AO inconnue; coupons l'axe lA par un plan quelconque BN, et posons IN = e, d'où N.\ ^= h — c.
Il est clair ({ue, dans cette figure et les semblables (paraboles ou
paraboliques), les centres de gravité, dans les segments retranchés
par les parallèles à la base, divisent les axes dans un rapport constant
(il est évident, en effet, que la démonstration d'Archimèdc pour la
parabole [)eut s'étendn», |)ar un raisonnement identique, à toutes les
paraboles et aux conoides paraboliques). Donc le centre de gravité
du segment, dont NA est l'axe et BN le rayon de base, divisera AN en
„ , NA I/V , b h~c
un point comme h, en sorte (lUC -rrr = ttt' ou, en notes, - = —;.,-• ' ' AE AO rt AE
[137,130] MAMMA ET MIMMA. |o,j
La i)()rlioii de l'axe sera donc AE = — -, — -, cl riiUorvalIc des deux (•(Milres de "ravilé, Ol'] = , •
Soit ^I le centre de gravité de la partie restante CI5RV; il doit néees-
sairoment tomber entre les points N, 1, à l'intérieur de la ligure,
d'après le poslulalnin 9 d'Archiniède De œqutpondcrantibus, pnis([iie
(1I5HV est une (igure enlièrenienl concave par rap[)orl à son intérieur.
., . Partie CBUV EO n , I , i -, i i
.Mais ^i>. .,-~rjrvïr = (T\ï' l»"i^"ii'L' (• l'^t l«-' centre de gravite de la
ligure totale CAY et que K et M sont ceux des parties.
Ordans le conoide d Arcniinede, ,,--. ...-r. = vr .-; = , , ;
rarlicHAK i\A- b--\-e-—ibc
, 1- 1 1 Parlic r.iJIiV 9.l>e — ('-- ,, . uonc, (lividcnao : ,,—.— ., .,, = r-, ;— ■ .Mais nous avons lu'oiive
Punie CHRV OE ,. , -ibc — n'- \ " b
ijnc -n — ■ — ■.^■.- = rrvr- )onc, cn no Cs, r^ r ,— = ; —
' Parlie I5AU OM ' b- -^- c' — ■>. be OiVl
,, , ,.,, b-nr-{-ftc^ — 2bae- (l on ().AI=
2 b- a — bc-
D'après ce ([ui a été établi, le point M est entre les points N et I; donc ().M<;OI; or, en notes, 01 = /> — n. La queslion est donc r.iincnée à notre méthode, et l'on peut poser
h-ar -h iic^ — '>. Ixiit"b — a<^ -p, — ,
Miilli[dianl de part et d'antre par le dénominateur, et divisant par e :
■?. b' — T //- a — b- c + bac oo //- a + ac'- — ■?. bac.
Puis([u'il n'y a pas de termes communs, supprimons tous ceux où entre c et égalons les autres :
2 b^ — >. b'- a r=i b- a y d'où 3a^^2b.
„ , lA 3 AO ■^
Par conséquent ~— r= -, t-t — - = -. c. o. r. r.
