SECONDE PARTIE DE LA DISSERTATION

Pour satisfaire à l'engagement que j'ai pris publiquement, je donne ma méthode générale pour la solution des problèmes quelconques par les courbes qui leur conviennent en propre.

J'ai déjà dit, dans la première Partie de cette Dissertation, que les problèmes de deux degrés immédiatement consécutifs, par exemple 3 et 4. ■"> et G, 7 et 8, 9 et lo, etc., ne réclament qu'un seul degré de courbes. Ainsi ceux des puissances 3 et 4 se résolvent par des courbes du 2*= degré; ceux des puissances 5 et G, par des courbes du 3" degré, etc., à l'infini.

Voici la manière d'opérer. L'équation donnée quelconque, qui ne

renferme qu'une quantité inconnue, sera d'abord ramenée au degré le

plus élevé, je veux dire le pair; puis on la débarrassera du terme où

entre l'inconnue au premier degré. Gela fait, il restera une équation

l'EiuiAT. — ni. l5

tu (KIJVHES DE FERMAT. [t2i, 1251

entre la quantité connue ou le terme donné d'une part, et de l'autre un membre inconnu dans chaque terme duquel entrera le carré de la racine inconnue. On égalera ce membre inconnu à un carré dont on formera la racine de façon qu'en égalant ledit carré avec le membre inconnu, on puisse éliminer autant que possible de degrés les plus élevés de la racine inconnue. Il faut d'ailleurs avoir soin que les divers termes de la racine du carré à former ainsi soient tous affectés de la racine ou quantité inconnue, et que le dernier de ces termes soit, en outre, affecté aussi d'une seconde inconnue. On aura ensuite par une simple division d'un côté, par l'extraction d'une racine carrée de l'autre, deux équations constitutives de courbes convenant au problème donné, et leur intersection résoudra la question par la méthode que nous avons appliquée dès longtemps à la solution des problèmes ])ar les lieux.

Soit, comme exemple : «'' -i- 1>a^ -+- ="«' -t- (^/"'rt' + m" a'- — n'.

Tous les problèmes qui montent à la cinquième ou sixième puissance peuvent être ramenés à cette forme. Car il suffit pour cela ou d'élever de la cinquième à la sixième puissance, ou de débarrasser celle-ci du terme en a, toutes choses suffisamment enseignées par Yiète et Descartes.

On formera le carré de la racine : a^ + hac, et on l'égalera au premier membre de l'équation. On aura ainsi

Supprimant de part et d'autre a" et divisant par a% ce que l'on pourra toujours faire en observant la précaution indiquée pour l'emploi de la méthode, il reste

équation qui donne, comme on le voit, une courbe du troisième degré.

Mais, pour avoir la seconde équation et arriver facilement à la solution du problème, il faut égaler aussi à l'autre membre de l'équation, //", le carré de a' + hac.

Donc, en extrayant la racine carrée et appelant, par exemple, n" la

racine carrée de ri", qui s'obtient facilement, on aura

«'"= a' -h bae, racine du carré égalé au premier membre de la première équation donnée.

Nous avons donc une seconde équation qui donne également une courbe du troisième degré. Qui ne voit maintenant que l'intersection des deux courbes trouvées donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solution du problème proposé?

Si le problème monte îi la septième ou huitième puissance, on le posera d'abord sous la forme d'une équation de la huitième puissance, puis on débarrassera celle-ci du terme alfccté de la seule racine. Ola fait, soit après cette réduction permise et conforme à la méthode :

On formera le carré à égaler aux deux membres de cette équation sur la racine

a'' + \ba^+ d"ae.

J'ai formé le second terme de cette racine du carré de façon que les deux puissances les plus élevées de l'inconnue a s'éliminent dans l'équation, ce qui est très facile. Kn égalant le carré de cette racine au premier membre de l'équation proposée, supprimant les termes communs et divisant par a-, on aura d'un coté l'équation constitutive d'une courbe du quatrième degré. Puis on extraira la racine carrée du second membre de l'équation proposée en premier lieu; soit p'" cette racine de ;"", on l'égalera à ci' -\- -, ba^ -\~ d" ae . Cette équation donnera une autre courbe du quatrième degré et l'intersection de ces deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solution du problème proposé.

Il faut remarquer, au reste, que, dans les problèmes qui montent aux puissances 9 et lo, on devra former la racine du carré de façon qu'elle comprenne au moins quatre termes, de façon à éliminer les trois degrés les plus élevés de l'inconnue.

Pour les problèmes montant aux puissances 11 et 12, la racine du carré à former doit avoir au moins cinq termes, dont on disposera de

116 ŒUVRES DE FERMAT. [ne, 127 J

façon à éliminer les quatre degrés les plus élevés de l'inconnue.

Le procédé pour former ainsi la racine est toujours très simple; les analystes trouveront à l'essai qu'il sulfit absolument de la division ou application (pour employer les termes géométriques dans un sujet purement géométrique); les signes + et — n'apporteront au reste aucune difîlculté pour la pratique de la méthode.

Comme d'ailleurs les problèmes qui montent à la seconde puissance sont réduits à la première par l'extraction de la racine carrée, cette méthode donne leur solution connue au moyen de lignes du premier degré ou de droites; on voit donc s'évanouir la vaine objection dont nous avons parlé dans la première Partie de cette Dissertation, si l'on suppose l'extraction de la racine carrée immédiatement connue pour toute espèce de problèmes.

On a ainsi la résolution et construction exacte et la plus simple possible des problèmes de Géométrie par des lieux naissant suivant les cas de courbes d'espèces différentes et convenant à ces problèmes. Au reste, l'analyste sera libre de faire varier ces courbes, sauf à rester toujours dans le genre naturel aux problèmes, en résolvant ceux du 8'' et ']" degré par des courbes du 4"; ceux du lo*" et du rf, par des courbes du 5"; ceux du 12* et ii'par des courbes du G*' et ainsi de suite indéfiniment par une méthode uniforme. Au contraire, d'après Descartes, les problèmes des 8'^ et 7^ degré ont besoin de courbes des l'^ et d*"; les problèmes du 10'' ou du 9'', de courbes du 7* ou du H''; les probli-mes du 12'' ou du it*", de courbes du 9*^ ou du lo'', et ainsi de suite indéfiniment; les Cartésiens peuvent voir combien cela est loin de la simplicité et de la vérité géométrique, ou bien, si cela leur plaît, ils essayeront de nous contredire.

(^ar nous cherchons seulement la vérité, et si elle est cachée quelque part dans les écrits du grand homme, nous aurons la plus grande joie à la reconnaître et à l'embrasser; car, pour employer une formule qui n'est point de moi, j'ai une si grande admiration pour ce génie extraordinaire, que j'estime plus Descartes lorsqu'il se trompe que beaucoup d'autres quand ils ont raison.

TROISIKÎME PARTIE DK LA DISSERTATION.

Cela peut sulfiro pour la théorie générale; car les problèmes que Descartes donne comme résolubles au moyen de courbes d'un degré trop élevé, nous les avons heureusement abaissés par une méthode générale à des courbes d'un degré moitié moindre. Mais on doit comprendre ceci en ce sens qu'il hut au moins ce degré pour toutes les questions absolument, car une infinité de cas spéciaux se prêtent ii un abaissement encore plus grand. Je veux donc aller plus loin et ramener l'analyse cartésienne, non seulement à des termes de degré moitié moindre, mais à des degrés 4 fois, 6 fois, loo fois, et indéfiniment moins élevés pour certains cas. On reconnaîtra mieux ainsi l'erreur de Descartes, et elle trouvera sa correction immédiate par l'analyse ; au reste, je désignerai, ce qui est plus commode, dans les degrés élevés, les puissances par les nombres que comportent leurs exposants.

Soit proposé de trouver six moyennes proportionnelles entre deux données. Soient /> et rf les deux données, a la première moyenne à trouver, on a l'équation a' = l>'''d. D'après Descartes, cette équation ne peut èlre résolue que par des courbes du 5'' ou du G'' degré. Dans la seconde Partie de cette Dissertation, elle est, avec toutes les autres de même nature, résolue généralement par des courbes du 4*" degré. Mais rien ne nous empêche de la résoudre par des courbes du 3" degré. Egalons en effet chacun des membres de l'équation au terme a'c-f/. Si, dans l'équation avec a\ on divise de part et d'autre part par a\ il vient e'd = a\ ce qui donne, comme on voit, une courbe du 3*^ degré. De l'autre coté, a'c-d = l/'d; divisant par d et extrayant la racine carrée, a-e = h\ ce qui donne également une courbe du i*" degré. L'intersection de ces deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solution du problème proposé au moyen de courbes du 3'' degré.

Soit proposé maintenant de trouver douze moyennes proportionnelles entre deux données; l'équation sera a" = h'-d. Descartes a pensé qu'elle ne peut se résoudre que par des courbes du 1 1'' ou 12'" degré.

J'ai enseigné, en général, dans la seconde Partie de cette Dissertation, que toutes les équations de ce degré peuvent être résolues par des courbes du 7'' degré. Mais une recherche plus attentive donne immédiatement une solution élégante par des courbes du 5''; on peut même l'obtenir par des courbes du 4'". comme on le verra ensuite.

Hgalons d'abord chacun des deux membres au terme a'cV/. Dans la première équation, avec «'\ divisant de part et d'autre par a\ il vient a'' = e''d, courbe du 5'' degré. Dans la seconde équation, avec />'-r/, divisant par d et extrayant la racine quatrième ou biquadratique, on a a-v^=^h\ courbe du 3*^ degré. Le problème proposé est ainsi résolu par deux courbes, l'une du V, l'autre du 3"' degré.

Mais on peut résoudre ce problème encore plus facilement, c'eslà-dire par des courbes du 4'' degré. Si, en elfet, on égale les deux membres à oV'V/, on aura d'un côté, en divisant par d\ a'' = eUl, équation d'une courbe du lY degré; d'autre part, en divisant par d et extrayant la racine troisième ou cubique : à^e =■- h'', ce qui donne aussi une courbe du 4" degré. Ainsi nous avons une construction facile par deux courbes du 4*" degré.

Après ces exemples, on ne peut douter que V invention de io moyennes proportionnelles ne puisse s'obtenir par des courbes du 7" ou même du 6'' degré. Égalons, en ed'ef, les deux membres de l'équation a^' = />"*c/ au terme commun a-''e''d; le problème sera ramené ii des courbes du 7" degré. Par le terme commun a-^e''d, il le sera à des courbes du (>". De môme, Vinvention de 72 moyennes proportionnelles se fera par des courbes du \f degré, et il est clair, d'après ce qui précède, que l'on peut assigner un rapport plus grand que tout rapport donné entre le degré du problème et celui des courbes qui le résolvent. Quand les Cartésiens auront vu cela, je ne doute pas qu'ils ne reconnaissent la nécessité de notre remarque et de notre correction.

Il faut observer qu'il convient souvent de changer la forme de l'équation pour que le degré soit susceptible d'une division commode en parties aliquotes. 11 sera inutile de répéter cette remarque.

Qu'on propose, par exemple, Vinvention de 10 moyennes, c'est-à-dire

l'équation «" = /V'V/, on multipliera les deux termes par une droite donnée, z par exemple; l'équation deviendra a" z = h'"(Iz, et l'on arrive ainsi au nombre 12, qui permet facilement une réduction ou abaissement par ses parties aliquotes. En égalant chacun des deux membres à a^e\ on aura d'un coté l'équation «^= = e\ courbe du quatrième degré. De l'autre coté, en extrayant la racine bicarrée, soit celle-ci n'" par le terme donné b*''dz, on a a-e = n", courbe du troisième degré. Ainsi on trouvera dix moyennes par deux courbes, l'une du 4". l'autre du 3" degré, ce à quoi on est arrivé facilement par un petit changement de l'équation primitive.

Je ne m'arrête pas aux autres abréviations que l'art fournira de luimême aux analystes et qui sont en nombre intîni. J'ajoute toutefois que ce que je viens de dire s'applique non seulement quand la puissance inconnue se trouve sans aucun autre terme affecté d'un degré moins élevé, mais encore s'il y a des termes de degrés voisins du plus élevé, comme dans l'équation o'^-f- «a''^ -i- w«" h- /■«'" — h^-d.

La solution de cette question, en prenant le même terme commun que ci-dessus, «V^o, sera aussi facile que celle de l'invention de 12 moyennes entre deux données. Le môme artifice s'emploierait de même pour les équations d'autres degrés plus élevés.

Cependant il faut remarquer que, dans les équations où se trouve seulement un terme inconnu dans un des membres, il faut que l'exposant de la puissance unique de l'inconnue soit un nombre premier, pour que l'on désigne par cet exposant le degré du problème. Si, en effet, l'exposant est composé, le problème se ramène immédiatement au degré des diviseurs.

Si l'on demande, par exemple, H moyennes proportionnelles entre deux données, on aura l'équation a' — h^d. Dans ce cas, le nombre 9 étant composé et ayant deux fois 3 comme facteur, le problème doit être regardé comme du troisième degré, et il l'est de fait. Si, en effet, on trouve deux moyennes proportionnelles entre les deux données, si ensuite on intercale de nouveau deux moyennes proportionnelles entre le premier et le second terme de la progression ainsi formée,

120 ŒUVRES DE FERMAT. [l.îO, I3ij

puis ontrc le second et le troisième, puis entre le troisième et le quatrième, on aura (S moyennes entre les deux lignes proposées en premier lieu.

Si l'on demande maintenant i4 moyennes entre deux données, l'équation «'■ = />' V/ montre que le problème se ramène à deux autres, l'un (lu 3'\ l'autre du 5'' degré.

On voit ainsi que l'exposant de la puissance unique doit être un nombre premier pour exprimer et représenter véritablement le degré du problème.

Comme d'ailleurs je considère comme certain que /es nombres obtenus en ajoiilant l' unité, aux carrés successifs que l'on forme en partant de -i sont toujours premiers, tbéorème dont j'ai depuis longtemps annoncé la vérité aux analystes, je veux dire que les nombres

3, 5, 17, 257, (35537, ..., à l'infini

sont premiers; il n'y a aucune dilTicullé pour trouver un procédé permettant de construire un problème dont le degré soit dans un rapport plus grand que tout rapport donné avec le degré des courbes qui servent à le résoudre.

Par exemple, soit proposé de trouver entre deux données 2;)G moyennes proportionnelles, on aura l'équation rt-" = A-'S/; on égalera les deux termes à a-''"c"''d, et la question sera résolue |)ar des courbes du 17'' degré.

Si Von cherchait 65530 moyennes proportionnelles, le problème serait résolu par des courbes du 257"^ degré, et ainsi de suite indéfiniment, en abaissant le degré du plus grand nombre à celui du nombre immédiatement inférieur. Et qui ne voit qu'en deux nombres consécutifs, le rapport augmente indéfiniment?

Les Cartésiens essayeront-ils encore de dissimuler l'erreur de Descartes? Quant il moi, je m'abstiens de rien prévoir : j'attends avec intérêt, mais sans rien ajouter de plus, ce qu'il adviendra à ce sujet.