SUR LA MÊME MÉTHODE

Je veux, au moyen de ma méthode, partager la ligne donnée AC {fi g- ()\^ au point IJ, en sorte que AB- X BC soit le maximum de tous les solides que l'on peut former de la même façon en partageant la ligne AC.

Fis. i/i-

Posons, en notations algébiicjues, A(] = />, l'inconnue AB = <7; on aura B(] = /^ — a et le solide a'h — a^ doit satisfaire à la condition proposée.

Prenons maintenant a -h e au lieu de a, on aura jiour le solide

[n -h e)- (l> — e — n)^ ba'^ -+- be- +- 2 bac — a'' — 'iac''- — 3n-e — c'.

.le le eom|)are au premier solide; a'-h — a\ comme s'ils étaient égaux, quoi(|u'en fait ils ne le soient point. C'est cette comparaison que j'appelle adégalilé, pour parler comme Diophante, car on peut ainsi traduire le mot grec Ttapia-OT-/]; dont il se sert.

.le retranche ensuite de part et d'autre les termes communs, c'està-dire ha'- — a\ Cela l'ait, dans un membre il ne reste rien, dans l'autre on a be- ^ ibae — 'iaé- — '5d-e — e^ . 11 faut donc comparer les termes en plus et ceux en moins; on a ainsi une seconde adégalilé entre be'^ 4- ibae d'une part, Zaé- + 3«-e + e^ de l'autre. Divisons tous les termes par e, Vadégalité aura lieu entre be -+- iba et 3ac 4- 3a- -l-fi*. Après cette division, si tous les termes peuvent encore être divisés par e, il faut réitérer la division, jusqu'à ce qu'on

ail un lcrm(> qui ne se prèle plus à crtlc division par e, ou, pour employer le langage de Viète, qui ne soit plus aiïeeté de e. Mais, dans l'exemple proposé, nous Irouvons (|ue la division ne peut èlre réitérée. Il faut donc s'arrêter là.

Maintenant je supprime tous les termes affectés de e; il me reste d'une part -iha, de l'autre ?>a'-, membres entre lesquels il faut établir, non plus comme auparavant, une comparaison feinte ou une (idcgalilc. mais bien une véritable équation. Je divise de part et d'autre para;

j'ai donc a/v := 3rt ou - = -• •' ai

AC i

Rcvenonsà notre question, etdivisonsAC en Ben sorte que 7^7= -^ ' ^ AB •-(

je dis que le solide AB' x BC est le maximum de tous ceux qui peuvent

être formés sur la ligne AC, par une autre division quelconque.

Pour établir lu certitude de cette uiéthode, je prendrai un exemple du Livre d'Apollonius, De la section délerminée , lequel au rapport de Pappus (Livre VII, commencement) renfermait des limitations dilliciles et notamment celle qui suit et que je considère comme la plus dilficile. Pa[)pus (Livre VII) la suppose trouvée et, sans la démontrer vraie, la regarde comme telle et en tire d'autres conséquences. Ko cet endroit, Pappus appelle un rapport minimum [jLova-/ôv xai èXây'.a-zov (singulier et minimum), parce que, si l'on propose une question sur des grandeurs données, et qu'elle soit en général satisfaite [)ar deux points, pour les valeurs maxima ou minima, il n'y aura qu'un |)oint (|ui satislassc. C'est pour cela que Pappus appelle minimum et 5Ûig-«- //Vr (c'est-à-dire unique) le plus petit rapport de tous ceux qui peuvent être proposés dans la question. Commandin doute en cet endroit de la signilication du terme aovayo; qu'emploie Pappus, parce qu'il ignore la vérité que je viens d'expliquer.

Voici la proposition. — Soil une droite donnée OJIID {/ig- f)5) et sur

celte droite t/uatre points donnes 0, il, I, D. //faut diviser le segment MI