V ON X NI

e/i it/i point :N, en sorte (jue ^^ rj.- soit u/i rapport plus petit (pie celui

de deux autres rectangles semblables quelconques irrc, — -,-7- • ° ^ ' MN X iM

(EU VUE S DE F El! M AT.

l'osons li's donnéos OM = h, D^I = -, iMI = ^-, et soit mainlcnaiil riiicnnmie ^^N = (7. On anra donc on no(alions

ON X M) - i:; — ba + za ^ a\ ]\IN x NI = i'« — «=.

Il I' I I I h:- — ha -\- :n — n- . . , ,-. i

Il laul donc (luc le rapport soit le rilus ix-tit w.

Ions ceux qui peuvent cire obtenus par une division quelconque de la droite î\il.

Substituons maintenani rt -+- c à «■ nous aurons le rapport

bz- — ba — l)c + za -\- ze — a- — (•"- — 9. ne f^a 4- gc — rt'^ — e- — lac

([ii'il laul comparer par odcgalilc au premier, c'est-à-dire qu'on inultipliora d'un côté le premier terme par le quatrii-me, de l'autre, le second par le troisième, et que l'on comparera les deux produits :

{J'z — ba -^ za — a"-) { ga + gc — a'^ — c- — 2ac)

lireiiiicr Icrriic dcrnior leriiie

-— bzga — gl/a--\- gza- — ga'^ -\- bzgc — bagc

+ z âge — a- gc — b z a- + ba^ — zn'--\- a ' -H b z C- ~\- bac''- — - rtfi- -f- a- c'- — •), b z ac -+- îha-e — 'îza'-c -+- 2a'e.

D'autre part,

{ga — a") {bz — ba — bc + zn -h zc — a-— e'-~ ■?.ac)

si'L-oinl Icrme lioisiriiM- Iri-iiie

:= bzga — gba- — gbnc -t- gza"- + gzac

— ga' — gac- — '2ga- e — bza- -\- ba^

-+- ba-c — ; fl '■ — za'^c + a' + rt- c" 4- i « ' c.

.le compare ces deux produits par adégalilé; reiranchani les (ermes communs et divisant par e,

bzg — a- g — bzc -\- bac — zac — 2 bza — 2 za- -h ibaoo — gae — 3 ga- -+- ba- — za-.

Supprimant tous les termes où se trouve encore e, il reste

■ibza — 2za--h 2 ba- =; — 2 gd^ + ba'- -

et, en transposant,

— ba"- -\- za-

ja'^ -i- ibza = bz ,i,' .

En résolvant celle équation, nous trouverons la valeur de a ou de MN, par suite le point N, et nous vérifierons la proposition de Pappus,

qui enseigne que, pour trouver le point IN, il tant taire „ = -|^p-;

car la résolution de l'équation nous conduira h la même construction.

Pour appliquer aussi cette même méthode aux tangentes, je puis

procéder comme suit. Soit, par exemple, l'ellipse ZDN {fig- 96),

Fig. 96.

d'axe ZN et de centre R. Prenons sur sa circonférence un point comme D, menons par ce point la tangente DM à l'ellipse et l'ordonnée DO. Posons, en notations algébriques, la donnée OZ = Z» et la donnée 0N = ^; soit l'inconnue OM = a, en comprenant par OM la portion de l'axe comprise entre le point 0 et le point de rencontre avec la tangente.

Puisque DM est tangente ii l'ellipse, si, par un point V pris ad lihitum entre 0 et N, je mène lEV parallèle à DO, il est évident que la ligne lEV coupe la tangente DM et l'fdlipse, soit aux points E et I. Mais, puisque DM est tangente à l'ellipse, tous ses points, sauf D, sont

DO- DOen dehors de l'ellipse, donc IV >• EV et -^^ > TW' ^'"'^' 'l'après la

propriété de l'ellipse, 0!VP

ZO.ON , p , , 1)0'-

ZVTVN' ^^ l'anti'C part -p^