MÉTHODE DU MAXIMUM ET MINIMUM

lui t'tiuliant la métliodo (le la syncrisc et de Vanastrop/ir de Viètc, et on poursuivant soigncuscinorit son application à la reelieiche de la constitution dos équations corrélatives, il m'est venu ii l'esprit d'en dériver un procédé pour trouver le maximum ou le minimum et pour résoudre ainsi aisément toutes les dillicultés relatives aux condilions limites, qui ont causé tant d'embarras aux géomi-lres anciens et modernes.

Les maxima et minima sont en ellet uniques et singuliers, comme le dit Pappus et comme le savaient déjà les anciens, (juoique Commaiidin avoue ignorer ce (jiie signitie dans Pappus le terme ijL0va-/6ç (singulier). Il suit de hi (jiie, de part et d'autre du point conslitulil' de la limite, on peut prendre une é(|uation andiigue; que les deux équations ambiguës ainsi prises sont di's lors corrciatives, égales et semblables.

Soit, par exemple, [)roposé do parlagir la dnnle h en sorte (jue le produit de ses segments soit maximum. Le point satisfaisant ii cette question est évidemment le milieu de la droite donnée, et le produit

maximum est éical à -7-; aucune autre division de celle droite ni' don-

uera un protUiit égal a — •

Mais si l'on propose de partager la même tlroile /> eu sorte (|ue le produit des segments soit égal à ;"(cetle aire étant iraitleiirs ii supj)oser plus petite que ^ji on aura deux points satisfaisant ii la question, et ils se trouveront situés île part et d'autre du point correspondant au produit maximum.

SoitenciTetrt un des segments île ladroite h, on aura ha — «- = :", équation ambigué, puisque pour la droite « on peut prendre cliacunc

(les deux racines. Soit donc l'équation corrélative be — e- =■ z" . Comparons ces deux équations d'après la méthode de Viètc :

ba — be ^^ n- — e-.

Divisant de part et d'autre par a — e, il viendra

les longueurs a et e seront d'ailleurs inégales.

Si, au lieu de l'aire z", on en prend une autre plus grande, quoique

toujours inférieure à —, les droites a et e différeront moins entre elles

que les précédentes, les points de division se rapprochant davantage du point constitutif du produit maximum. Plus le produit des segments augmentera, plus au contraire diminuera la différence entre a et r, jusqu'à ce qu'elle s'évanouisse tout à fait pour la division correspondant au produit maximum; dans ce cas, il n'y a qu'une solution unique et singulière, les deux quantités a et e devenant égales.

Or la méthode de Viète, appliquée aux deux équations corrélatives ci-dessus, nous a conduit à l'égalité 6 = a + e; donc, si e = a (ce qui arrivera constamment pour le point constitutif du maximum ou du minimum), on aura, dans le cas proposé, b = 2a, c'est-à-dire que, si l'on prend le milieu de la droite b, le produit des segments sera maximum.

Prenons un autre exemple : Soù à partager la droilc b de telle sorte que le produit du carré de l'un des segments par l'autre soit maximum.

Soit a l'un des segments : on doit avoir ba'- — a^ maximum. L'é- ([uation corrélative égale et semblable est be'- — e^. Comparons ces deux équations d'après la méthode de Viète :

ba- — bc- z=: a^ — e^ ;

ilivisant de part et d'autre para — e, il vient

ba + bc ^^ a^ + ae -t- e-,

ce qui donne la constitution des équations corrélatives.

Pour trouver le maximum, faisons e = a; il vient

2^a=:3a- ou 26^ 3a;

le problème est résolu.

Toutefois, comme pratiquement les divisions par un binôme sont généralement compliquées et trop pénibles, il est préférable, en comparant les équations corrélatives, de mettre en évidence les dilTéronccs des racines, pour n'avoir à opérer qu'une simple division par cette différence.

Soit il chercher le maximum de b-a — a\ D'après les règles de la méthode précitée, on devrait prendre pour équation corrélativi; h-e — e'. Mais puisque e, aussi bien que a, est une inconnue, rien ne nous empêche de la désigner par a -+- c; on aura de la sorte

h-a -+- b-c — rt'— e' — 3rt-e — Ze'a 1= b-a • — a^.

11 est clair que, si l'on supprime les termes semblables, tous ceux qui resteront seront affectés de l'inconnue e; ceux en a seul se trouvent en effet les mêmes de part et d'autre. On a ainsi

et, en divisant tous les termes par e,

b'' = e^-hia^--h3ae,

ce qui donne la constitution des deux équations corrélatives sous cette forme.

Pour trouver le maximum, il s'agit d'égaler les racines des deux équations, afin de satisfaire aux règles de la première méthode, dont notre nouveau procédé tire sa raison et sa façon d'opérer.

Ainsi il faut égaler a iia -h e, d'où c = o. Mais, d'après la constitution que nous avons trouvée pour les équations corrélatives,

Z;' =r e- + 3 a^ -f- 3 ae ; nous devons donc supprimer, dans cette égalité, tous les termes alfec-

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h's de c, coininc so n'tliiisanl à o; il rcslei'a />-:=, ')«'-, ('quatioii (jiii (Inmiora le inaxiiniiin clicrclir [miui' I(^ prddiiil dont il s'agit.

Pour iiionlrcr plus {'om|)lMeiii('nt la griirralilo de celte douMe iiié- Ihode, eonsidéroiis de nouveaux genres d'éqnalions eorrélalivos dont Vii'te n'a pas traité et que nous cinpriiii((irons au Livre de \;\ Seclio/t (lélcrininéc d'xVpollonins (dans l'ap|)us. Livre VIL ])rop. (il), dont les l'ondilions de limites sont (>xpressénienl reconnues eoninie dilliciles |)ar Pappus.

Soit la (boite BDIiF {Jig- 97), sur la(]tiellc on donne les pui/its V>, I), I'], V . Trouver entre les points D et M un point N tel que le rapport des produits RN X NF et DN x Nh] soit ininimuni.

Posons Ulî = A, DF = :?, RI) — r/, l)N = «; il faut (jne le rappcu't (tz — (la -\- za — a-

tta — a-

soil niininiuni.

Le rapport corrélalifseinblalde et égal est —- — , V > d'après

notre j)reniii'rc uiélliode. h]galons les produits des termes moyens et dos extrêmes, nous aurons

dzt>c — ilze"- — (tatie ^- d<ic--\- zabc — zac"^ — a- tic -)- a'^c-

:= dzbci — rlza- — (lelxi + iten"--\~ zcba — zea"- — e-Art -I- c-o-.

Supprimant les termes semhlahles et l'aisanl les transpositions convenahles :

(Iztia — (Izbe -(- dca- — dae"- - - zcar + zaé- + «^ /«? — e"- bu =: dzci' — dze-.

Divisant de part et d'autre par (^/ — c (ce (|ui sera (ri's l'acile, si l'on

prend enseml)le les termes corrélatifs; ainsi ~ ^^ — -= dzb, cl d(!

même = dae, etc.; il est aisé de disposer les termes corré-

lalifs pour ol)tcM)ir oos divisions), on aura, après la division,

dzb -t- dae — zoc -I- bac = dza -i- dzc,

ôgalilé qui donne la constitution des deux é([ualions corrélatives.

Pour passer do cette conslilution au inininiuin, il faut, d'apri-s la méthode, faire c = a, d'oii

dzb + da- - :a- -h ba-z= 2dza;

la résolution de celte équ^ilion donnera la valeur de «, pour laquelle le rapport proposé sera minimum.

L'analyste ne sera pas arrêté par ce que cette é(|uation a deux racines, car celle (ju'il faut prendre se trahira d'elle-même, ([uand ou ne voudrait pas la reconnaître. ^Féme avec des équations ayant plus de deux racines, un analyste tant soit peu sagace ])ourra toujours se servir de l'une ou île l'autre de nos méthodes.

Mais il est clair, d'apri's l'exemple (|ne nous venons de traiter en dernier lieu, que la première de ces deux méthodes ser.i en général d'un emploi peu commode, par suite de ces divisions répété(!S par uu binôme. Il faut donc recourir à la seconde qui, quoique simplemeni dérivée de la première, comme je l'ai dit, procurera aux habiles analystes une facilité surprenante et d'innomhrahles ahrévialious; hien plus, elle s'appliquera, avec une aisance et une élégance hien su(»érieures, à la recherche des tangentes, des centres de gravité, des asymptotes et autres questions pareilles.

(Vest donc avec la même contiance (jue jadis, (jue j'allirme toujours aujourd'hui que la recherche du maximum et du minimum se raml'ue il celte règle uni(|ue et générale, dont l'heureux succès sera toujours légitime et non pas dû au hasard, comme cerlains l'ont pensé.

Soil a une inconnue (ro/r page i2i, ligne G à ligne dernii're). . . au première expression.

S'il reste encore quehju'un qui considère cette méthode comme dui' à un heureux hasard, il peut hien essayer d'en rencontrer un pareil.

Quant à celui qui ne l'approuverait pas, je lui proposerai ce problème :

Élant donnés trois points, en trouver un quatrième tel que la somme de ses distances aux trois points donnés soit mtnima.