SUR LA MÊME MÉTHODE

La théorie des tangentes est une suite de la méthode, dès longtemps publiée pour l'invention du maximum et du minimum, qui permet de résoudre très aisément toutes les questions de limitation, et notamment ces fameux problèmes dont les conditions-limites sont indiquées comme dilïiciles par Pappus (Livre VII, préf.).

Les lignes courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs propriétés spécifiques exprimables, soit par des lignes droites seulement,

[150,160] MAXIMA ET MINIMA. 1/tl

soit encore par des courbes compliquées comme on voudra avec dos droites ou d'autres courbes.

Nous avons déjà satisfait au premier cas par noire règle, (|ui, trop concise, a pu paraître dilTicile, mais cependant a été reconnue légitime.

Nous considérons en fait dans le plan d'une courbe ([uelconijuc deux droites données de position, dont on peut appeler l'une diamètre, l'autre ordonnée.. Nous supposons la tangente déjà trouvée en un point donné sur la courbe, et nous considérons par ndégaUté la propriété spécilique de la courbe, non plus sur la courbe même, mais sur la tangente à trouver. En éliminant, suivant notre théorie des maxima et mininia, les termes qui doivent l'être, nous arrivons à une égalité (|ui détermine le point de rencontre de la tangente avec le diamètre, par suite la tangente elle-même.

Aux nombreux exemples que j'ai déjà donnés, j'ajouterai celui de la tangente à la cissoïde, inventée, dit-on, par Dioclès.

Soient un cercle dont les deux diamètres AG, BI {fig. loi) se coupent normalement, et la cissoïde IHG, à laquelle, par un quelconque de ses points, soit H, il faut mener la tangente.

Supposons le problème résolu, et F l'intersection de CG et de la tangente HF. Posons DF = «, et, en prenant un point M (|uelcon([ue entre D et F, DE == <?.

U après la propriété specitique de la cissoïde : vrrr = , „-> on aura

1V2 ŒUVRES DE FERMAT. |i(,û, Kil]

donc à exprimer analvtiqucment VadéîraUtc ~, •^ r^,^.^ EO étant la ' ' ^ ^ EG EO

portion de la droite EN interceptée entre M et la tangente.

Soient la donnée AD = z, la donnée DG — n, la donnée DH = r, et, comme nous l'avons dit, l'inconnue DF = a, l'arbitraire DE -- e.

On aura ,

E(î^r/i — e, EO = — - ' EN— v-/( — ze -\- ne — e- .

D'après la règle, il faut considérer la propriété spécifique , non

NF EG pas sur la courbe, mais sur la tangente, et poser donc ~ — p-„-> EO

étant l'ordonnée de la tangente, ou, en notations analytiques,

Jz II — ze -h /le — e- n — e

/( — e ra — re

carrant, pour se débarrasser du radical :

zn — z e -h HP — e- « - -l- e- — a ne

n' -\- e- me r- a- -\- r'' e"- -9.r''ae

ÎMultipliant tous les termes par a', et adègalant, d'après la ri-gle, le produit des extrêmes au carré du moyen, supprimant les termes superllus, conformément à la méthode, on aura enfin

i za -\- lia =: îzn.

D'où la construction suivante de la tangente : Prolongez le rayon CA du cercle donné jusqu'en V et prenez AV = AC. Divisez AD x Dd par VD, soit DF le quotient; joignez FH; vous aurez la tangente à la cissoïde.

Indiquons aussi la façon de procéder pour la conclioide de Nicomcde, mais indiquons-la seulement pour ne pas être trop long.

Soit la conchoïde de Nicomiide construite sur la figure ci-contre {fig- loi), comme elle l'est dans Pappus et dans Eutocius : 1 est le pôle, KG l'asymptote à la courbe, IHE la perpendiculaire à l'asym-

ptolc, N un point donné sur la courbe, par lequel il faut men(;r une

tançjenle NBA rencontrant lE en A.

Supposons le problème résolu, comme ci-dessus. Menons NC parallèle à KG. D'après la propriété spécifique de la courbe, l.N — HE. Prenons un point quelconque, soit D, entre C et E, et menons par ce |)oint, parallèlement à CN, DB qui rencontre la tangente en B. Comme la [)ropriété spécifique de la courbe doit être considérée sur la tangente, joignons BI qui rencontre KG en M; on doit adégaler, d'après les règles de l'art, MB et HP]; on arrivera ainsi à l'équation cherchée. Pour cela, on posera, comme ci-dessus, CA = a, CD = e, EH = z, et on désignera de même les autres données par leurs noms. On trouvera l'acilement l'expression analytique de la droite MB, on Vadégalera, comme il a été dit, à la droite HE, et on résoudra la question.

Ce que j'ai dit parait sulfire pour le premier cas. 11 est vrai qu'il y a une infinité d'artifices pour abréger.les calculs dans la pratique; mais on peut facilement les déduire de ce qui précède.

Pour le second cas, que jugeait difficile M. Descartes, à qui rien ne l'est, on y satisfait par une méthode très élégante et assez subtile.

Tant que les termes sont formés seulement de lignes droites, on les cherche et on les désigne d'après la règle précédente. D'ailleurs, pour éviter les radicaux, il est permis de substituer aux ordonnées des courbes, celles des tangentes trouvées d'après la méthode précédente. iMifin, ce qui est le point important, aux arcs de courbes on peut substituer les longueurs correspondantes des tangentes déjà trouvées, et

[1CÎ, 103]

arrivera Vadc'galité, comme nous l'avons indiqué : on satisfera ainsi facilement à la question.

Prenons comme exemple la courbe de M. de Roberval l^cycloïdc].

Soient HBIC (/ig- io3) la courbe, C son sommet, CF l'axe; décrivons le demi-cercle COMF, et prenons sur la courbe un point quelconque, soit R, duquel il faut mener la tangente UB.

Fi.'. .03.

.Menons par ce point U, perpendiculairement à CDF, la droite \\y\D, cou[)anl le demi-cercle en M. La propriété spécifique de la courbe est (jue la droite RD est égale à la somme de l'arc de cercle CM et de l'ordonnée DM. Menons, d'après la précédente métbode, la tangente MA au cercle (le même procédé serait en effet applicable si la courbe COM était d'une autre nature). Supposons la construction opérée, et soient l'inconnue DR = a, les droites trouvées par construction : DA — h, MA = d; les données MD = r, RD = :;, l'arc de cercle donné CM = n, la droite arbitraire DK -- c.

Par E menons EOA'^IN parallèle à la droite R.MD ; on a ——

NIVOE'

l'où NIVOE

il faut donc adégaler (îi cause de la propriété spécifique de la

courbe qui est à considérer sur la tangente) cède droite ~— ^ à la

somme OE + arcCO.

3îaisarcCO = arcCM-arcMO.Donc-'^--V)()EH-arcCM--arcM().

Pour obtenir l'expression analyti({ue des trois derniers termes, (oui en évitant les radicaux, on peut, d'après la remarque précédente, sub-

stitucr, à OE, l'ordonnée EV de la tangente, et à l'arc MO, la portion de

tangente MV qui lui est adjacente.

Pour trouver l'expression analytique de EV, on a d'ailleurs b r ,, , „,, rb — re

Pour celle de MV, à cause des triangles semblables, comme ci-des-

b e ,, , .,,r de

sus, -7 = rrî7, a ou IMV= -t-- (/ MV b

Enfin on a posé arcCM == «. On aura donc analytiquemenl

za — ze rb — re de

Multipliant, de part et d'autre, par ab :

z ba — z be LTi rba — rae -\- biia — due.

Mais, d'après la propriété de la courbe, z—r+n, donc zha—rba hbmt. Supprimant les termes communs,

; be (y, rae + dae.

Divisons par e; con)ine il ne reste ici aucun terme superflu, il ii'v a

pas d'autre suppression à faire :

zb ^:^ ra -\- dn, (I ou = -•

ni I .• PI MA + MD Kl) . . , ....

Pour la construction, on fera donc — = jr^^; on-joiiidra BR

qui touchera la courbe CR.

,, • MA + MD MD . . . 1 . r 1 I r 1

Mais comme — Tr^r — = -7t-t> ainsi qu il est facile de le démontrer,

, r. . MO RI) , ^ . , ,.

on peut taire -. jr = -rr^r, ou, pour que la construction soit plus élégante, joindre MC et lui mener RB parallèle.

La même méthode donnera les tangentes à toutes les courbes de cette espèce. Nous avons indiqué il y a longtemps leur construction générale.

Comme il a été proposé de trouver la langenle de la (fuadrataire ou quadratrice de Dinoslrale, voici comment nous la construisons d'après la méthode précédente.

l'tnMAT. — III. IQ