DES LIGNES COURBES AVEC LES LIGNES DROITES. DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE
Jamais encore, <(iie je sache, une ligne courbe purement géomé- Irique n'a été égalée par les géomètres à une droite donnée. Ce qu'en (•nVt un subtil mathématicien anglais a récemment découvert et démontré, que la cycloïde primaire est quadruple du diamètre du cercle qui l'engendre, parait devoir se limiter, d'après l'avis des plus savants géomètres. Ils pensent en cflet que c'est une loi et un ordre de la nature qu'on ne puisse trouver une droite égale ii une courbe, i» moins de supposer d'abord une autre droite égale à une autre courbe, cl prenant cet exemple de la cycloïde, ils montrent qu'il en est ainsi dans ce cas. Je ne le nie pas; il est clair en effet que le tracé de la oycloïde suppose l'égalité d'une autre courbe avec une droite, ii savoir celle de la circonférence du cercle générateur de la cycloïde avec la droite qui est la base de la cycloïde. Mais on va voir ci-dessous ce qu'il en est de cette loi de la nature qu'ils établissent, et combien il est dangereux sur un ou deux faits d'expérience d(i conclure aussitol un axiome. Je vais en effet démontrer ['égalité à une droite d'une courbe véritablement géométrique et pour la construction de laquelle on n'a à supposer aucune égalité semblable d'une autre courbe avec une droite, (;t je traiterai toute la question aussi brièvement que possible.
Proposition I.
Soit {fig. 120) une courbe quelconque AHMG concave zvrs un même côté, par exemple une des paraboles en nombre infini, dont les langejites
(laiVIlKS l»K F i: Il M AT.
reiiconlrenl en dehors de la courbe la hase AF et l'axe KG. Je prends sur une courbe de celle nature un point quelconque II par lequel je mène la tangente \^K; sur celle-ci je prends, de côte et d'autre, les points K, I, d'oii j'abaisse IB, KD perpendiculaires sur la base AF et coupant la courbe aux points R, M. Je dis que le segment HI de la tangente est plus petit (jue l'arc de couj-be \\\\, qu'au contraire le segment HK de la même tangente est plus grand que l'arc de courbe HM.
TV B C D li F
En cflet, piiis(jii(', par liypothose, la tangente Kl rencontre la hase AF en dehors de la courhe, l'angle CHI que fait la perpendiculaire HG il la hase avec la tangente HI est plus petit (|n'un droit, et par conséquent la perpendiculaire ahaissée de H sur la droite Bl tomhera en V au-dessus des points B, R, 1. On en conclut que HV < HI et que HI est plus petit que la droite qui joint les points H, R. Donc, n fortiori, HI est plus petit que l'arc de courbe HR sous-tendu par cette droite qui joint les points H, R. Premier point qu'il fallait démontrer.
.le dis maintenant que le segment Kli est plus grand que l'arc de courhe HM. Du point K je mène à la courbe la tangente KN, et j'abaisse la perpendiculaire NE. Il est prouve, par ce qui précède, que KN < arc NM. Mais, d'après Arcbimède, la somme des tangentes HK + KN>arcHN. Donc segment HK>arcHM. Second point qu'il fallait démontrer.
Il n'y a pasii objecter que la tangente menée du point K peut tomber au delà du point G. Car, dans ce cas, on peut prendre un autre point entre K et M, et employer le raisonnement précédent.
Il suit de lii que, si des points K, I on abaisse sur l'axe des perpen-
[213,21.] DISSEIITATION GEOMEÏRIOUE. 18:î
(liculairos qui coupent la courbe en 0, P, on aura, dans le cas de la figure, m > arc HO et HK < arc HP.
Si l'on imagine en elf'et la ligure retournée, en sorte que l'on prenne l'axe comme hase, et la base comme axe, la démonstration sera non seulement semblable, mais absolument identique.
Il, RKSiiLTK enfin de la construction même (jue, si lîC = (]D, on a les
segments des tangentes HI = HK. Ce qu'il est important de remai'-
(|uer.
Proposition II.
Pour mesurer les lignes courbes, je ne me servirai pas de lignes inscrites et circonscrites h l'exemple d'Archiméde, mais seulement de circonscrites formées par des segments de tangentes; je démontrerai, en elfet, qu'il y a deux séries de tangentes, l'une plus grande que la courbe, l'autre plus petite, et les analystes verront que la démonstration par les circonscrites seules est beaucoup plus facile et pins élégante.
Je (lis donc qu'il esl possible, suivant l'esprit de la méthode d'Archimèile, de circonscrire à une quelconque des courbes précitées deux fiqures composées de droites, et dont l une surpasse la courbe d'une différence inférieure à un intervalle donné quelconque; dont l' autre soit au contraire plus petite que la courbe d'une différence également inférieure à un intervalle donné quelconque.
Soit {Jig. l'^.i) iine ((ueli'on(|U(' d(!S courbes précitées : j(; partage la base AG en un nombre (|uelconque de parties égales, AH, B{], VA).
Fij;. 121 ( 3).
Dli], EF, KG; par les points 15, V, U, E, K, j'élève les perpendiculaires HQ, (^V, DZ, ER, FM, qui rencontrent la courbe aux points P, T, Y. N, 0. Je mène les tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, 01.
[2Ki, 215]
D'après la premu're proposition : tangente AQ>arcAP; tangente PV^arePT; etc.; enfin tangente 01 > arc OH. Donc la figure formée par tous les segments des tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, 01 est plus grande que la courbe.
Mais soient la même courbe {fig- 122) et la base AG divisée en autant de parties égales aux points H, C, D, K, F. En ces points B, (],
D, E, F, j'élève encore des perpendiculaires BR, CQ, DO, EL, FI, qui rencontrent la courbe aux jioinls S, P, N, M, K. Au point S, je mène la tangente ST jusqu'il la rencontre avec la perpendicul-aire AT; puis aux points P, N, M, K, II, les tangentes PR, NQ, MO, KL, HI, ren- (;ontrant les perpendiculaires BS, CP, DN, EM, FK aux points R, Q, 0, L, I. D'après la première proposition : tangente ST <C ai'c AS ; tangente PR<arcPS; etc.; enfin la parallide à la base, IIl<arcKH. Donc la figure, formée par tons ces segments de tangentes ST, PR, NQ, MO, KL, HI, sera plus petite que la courbe.
Mais, d'après le corollaire de la proposition I, les segments pris sur les deux cotés des (angentesen un point de la courbe, et correspondant de part et d'autre ii des segments égaux de la base, sont égaux entre eux. Par conséquent, puisque les courbes des figures 2 et 3 sont supposées égales ou plutôt comme ce n'est qu'une même courbe (!t que, si nous avons tracé deux figures, ce n'a été que pour éviter la confusion, on a : tangente ST (3' figure) = tangente PV (2* figure) : le point S (3" figure) étant identique à P (2^ figure), et les segments AB, BC de la base étant égaux de part et d'autre dans les deux figures, les segments pris des deux cotés sur la tangente et correspondant à ces segments égaux de la base doivent en effet être égaux, c'cst-ii-dire que ST (3« figure) = PV (2* figure).
[215, 3in] DISSEHTATION GÉOMÉTRIQUE. 185
On prouvera de même que PR ( 3' tigure) = TZ (2'' figure); etc. pour les autres segments. Il n'y aura que le premier de la 2'' figure et le dernier de la 3" qui ne seront pas égaux à quelque segment sur l'autre tigur(^ Donc l'exeès de la figure 2 sur la figure 3 est égal ii celui lie la tangente AQ (2*^^ figure) sur la tangente IH ('.'>" figure). Mais, il cause du parallélisme, IH est égal ii un segment de base, F(j ou AU. puisqu'on suppose tous ces segments égaux dans les deux figures; donc la 2'' figure, composée de tangentes et plus grande que la courhe, surpasse la 3*^^ figure, composée de tangentes et plus petite ([ue la courbe, de l'excès de la tangente AQ sur le segment AB de la hase (jui lui correspond ( 2'' figure).
Si donc nous voulons circonscrire ;i la courbe deux figures, l'une plus grande, l'autre plus petite, et dont la diirérence soit plus petiti^ qu'une quantité donnée quelconque, la construction sera tri^s facile. La tangente au point A i/fff- 121) est donnée d'après la méthode des tangentes déjii connue, donc l'angle QAB est donné; mais l'angle Q1$A est droit; donc le triangle QAB est donné d'espèce, donc le rapport
-rv7- Il faut doue régler la division de la base en sorte que la différence
AQ — AB soit plus petite ({u'une droit(! donnée quelconque; pour cela, il sullil de clierclier deux droites dans le rapport donné et dont la différence soit plus petite (|ue la droite donnée : problème facile. On prcîudra ensuite un segment quelconque AB de la base, avec la seule condition qu'il soit au plus égal ii la plus petite des deux droites satisfaisant audit problème.
Nous aurons ainsi trouvé deux ti^çures circonscrites ;i la courbe, l'une plus grande, l'autre plus petite (jue cette courbe, et telles que la diirérenc(; de ces figures soit inférieure ii un intervalle donné quelconque; (i fortiori, l'excès de la plus grande des circonscrites sur la courbe et celui de la courbe sur la plus petite des circonscrites seront chacun plus petits encore.
On voit donc (jue notri^ méthode par double circonscription ouvre un accès facile ii la inétliode d'Archimède, (juand il s'agit de la mesuri;
Fi;iiUAi. - III. ••i'i
18G ŒUVRES DE FERMAT. [2t(i,îl71
i\cs lignes coiirbos. Il sulfit de l'avnir dit une l'ois et de l'avoir démontré.
Cela posé, j'affirme hardiment qu'on peut trouver une courbe vraiment géométrique égale à une droite donnée. Cette courbe est une des paraboles en nombre infini, sur lesquelles nous avons spéculé il y a déjà longtemps; c'est celle où les cubes des ordonnées sur l'axe sont proportionnels aux carrés des abscisses de l'axe. Pour que les géomètres n'aient pas à douter de mon affirmation, voici la démonstration en peu de mots.
Proposition 111.
Soient {Jig- i23) IMIVA la parabole dont je inens de parler, A son sommet, AN son axe, 1 un point qucleonque pris sur la courbe. Si je mène
les perpendiculaires ou ordonnées sur l'axe MN, \Y , j' aurai constamment jjT- = rrr^j- Il faut prouver que la courbe MI A est égale à une droite
donnée.
AN- NM Je pose Y»p = vi)-' AD étant pris perpendiculaire à AN; il est clair
que AD sera le paramètre de la dite parabole, c'est-à-dire que ADxAN'-' = NM^ et que, si l'on prend un autre point I, on aura encore pour le cube de l'ordonn ée : AD x AF' -^ IF' . Cela n'a pas besoin
1^17, -'l'Jl DISSERTATION GEOMETRIQUE. 187
(le démonstration, et nous n'avons pas à nous arrêter à ce qui est trop facile.
.Te mène la tangente au point I, soit lOE, E étant son point de rencontre avec l'axe AN. D'après la méthode des tangentes, on aura
r' i » n ■ . EE 3 1 EE" o
h A ~ 2AK, par conséquent -.^. = -> donc -,,, = y- ' ' Ar ■>. Ar- 4
.le prends Cl) — - AD, et le milieu B du reste CA; on aura
l)A __ 9 EP AR 4 ^ ÂE-'
Donc AD X AF^' -- ¥\i- x AB. Mais AD x AF= ^ IK'; donc
EE- lE
AB X EF- = IF ' . Donc jpj = rj-, > ci componcado (comme EF- h- IF- -- IE-) :
lE^ IE-4- AR IF- " AR
Si je mène du point 1, perpendiculairement sur la hase, la droite IH,
si je trace une autre perpendiculaire quelconque GQVO, rencontrant
l'ordonnée IF en Q, la courhe en V, et la tangente en 0, les triangles
,,111 . 10 IK ,. , 10"- lE-
semhlahles donneront ,-t^- — tjtt- = ,,, > d ou .,-- = n,T-
1(J( — ilvf) Ir llii- 11"
., . lE^ lE+AR r, 10- lE-t-VR , ,. , ,
Mais T-r-; ^^ — -. r^ Donc rs-;,, =^ — rr; — ' rclalion constante aiic ii-
Ib- AR IKi- AR ' '
fnc proposais de démontrer.
II. SUT de là que, si sur le prolongement de MN on prend NX -= AB,
on a toujours tt-tt, ou (pour la tangente et le segment de base de l'autre
côté, qui, il cause des parallèles, donnent toujours le même rapport)
iTtïT ~ w ^iii" HX = IF -t- AB et NX -- AB, ce (lui est évident d'antl- iNa '
près la construction, puisqu'il cause des parallèles on a HN — IF, et
qu'on a pris NX = AB.
Proposition IV'.
Soit (Jig- i'i\) AXE cette parabole dont la propriété, comme nous avons dit, est que les cubes des ordonnées soient proportionnels aux carrés des abscisses sur l'axe. Soient AI l'axe, El la base ou demibase; l'axe AI et l'ordonnée lE étant donnés, on trouvera, comme cidessus, le paramètre AD, dont on retranchera le neuvième, CD; après
(El VUES DE FERMAT
(fiioi on prendra lo milieu 15 du reste AC. Je divise la base El en autant (le parties égales que l'on voudra KF, FG, (jH, Ul; aux points F, G, H, j'élève les perpendiculaires FX. GY, IIZ, qui rencontrent la courbe aux points X, Y, Z. Par les points E, X, Y, Z. je mène les tangentes ER, XS, YT, ZV qui rencontrent le prolongement des perpendiculaires FX, GY, HZ, lA aux points R, S, T, V. Enfin je prends, sur le prolongement de El, IK^- AR.
Fi-. i2'| Cl).
yv.
11 résulte de la proposition précédente et de son corollaire que l'on a jjï, = ^^; de même ^.,p = j.p ^^, - ,^; enfin ^,v = k, •
Cela posé, eu K j'élève KL perpendiculaire sur EK. et je prends KL — Kl — AR. .l'imagine maintenant qu'avec K comme sommet, KE |)()ur axe, on décrive la parabole simple ou parabole d'Archimède, de paramètre KL. Soit KMQ cette parabol(\ j'élève jusqu'à sa rencontre les perpendiculaires EQ, FP, GO, HN, IJM (jui en seront évidemment les ordonnées, et qui seront dans le prolongement des perpendiculaires FX, GY, etc.
Comme nous l'avons déjà dit.
FiF
Kl
Mais, en multipliant les
IIK [IK.KL
deux termes par KL, on a ..y = .., '■"; or, d'après la nature de la
parabole d'Archimède, HK.KL^HN"; d'ailleurs IK.KL = KL-, puisque
,, . ^^ „, p. \\W ZV- „ UN ZV
1 on a pris KL -- Kl. Donc ^^„ := y.^- Donc j>y = ,Tf
r-M.îîîl DISSERTATION (lÉOMÉTRIOUh:. 180
Nous prouverons do même que l'on aura, entre les tangentes et les
, . , , YT r.O XS FP ,. El{ EO
ordonnées, l.-s rapports : ^-^ = j-^-; ^,^. =:. j^; entin ,,,p = ^.
^f ZV UN . , , , , . , . , , .
iMais, puisque jjj = j^r' en égalant le produit des extrêmes a celui
des moyens, on a NH.HI --^ KL.ZV. Do même, OG.GH =^ KL.YT, et PF.FG ^ KL.XS, entin EQ.KF = KL. EU.
Mais pourquoi s'arrêter plus longtemps sur une question aussi facile, lorsque nous arrivons ainsi immédiatement à la méthode d'Archimèdc? En inscrivant et en circonscrivant les tii'uros au seirment parabolique, la somme de tous les rectangles QE.EF, PF.FG, OG.GH, iNH.HI, représentera le segment parabolique EQMI; la somme des tangentes ER, XS, YT, ZV, en redoublant la circonscription, conformément aux règles de notre méthode, représentera la courbe même EXYZA. Donc le segment parabolique EQMI est égal au produit de KL par la courbe EXA. Or le segment parabolique EQMI est donné en reotiligncs, puisque Archimède a carré la parabole et par conséquent ses segments. Donc le produit KL x EXA est donné; mais KL est donné, donc la courbe EXA, et l'on pont trouver une droite qui lui soit égale. c. o. v. i».
Si quelqu'un trouvait cependant cette démonstration trop rapide, je ne refuse pas de donner à part le raisonnement complet, en suivant les traces d'Archimède; ceux qui estiment que ce qui précède ne suffit pas pourront lire et examiner le raisonnement qui suit :
Il faut prouver que le segment parabolique EQMI = KL x EXA. Posons, d'après Archimède, EQMI = Kl^ x p. KL et [3 sont donnés.
Si nous prouvons que ^ == EXA, notre proposition sera établie.
.le dis donc que ^— EXA. Si en elFet elle n'est point égale ii cette
courbe, elle sera ou plus grande ou plus petite. Soit d'abord ^ > EXA ot soit, dans cette hypothèse, S leur difTéronce.
D'après la proposition H, nous pouvons circonscrire ii la courbe EXA une figure composée de segments de tangentes et (jui soit supérieure il la courbe d'un intervalle moindre que â. Supposons cette circon-
I 22^ 2'2iî 1
scription ofTectiiéc et représentée dans une ligure à part {fig- t25), marquée cinquicme en chiffre romain, où cet ensemble de segmenls de tangentes, ER + XS + YT + ZV, d'après ce qui a été démontré, est plus grand que la courbe EXA. Mais on suppose également p plus grande que cette courbe, et l'excès de la figure circonscrite sur la courbe est inférieur ii celui de j3 sur la courbe. Donc la ligure circonscrite est plus petite que p. Donc le produit de KL par la circonscrite
\>\S. is.S (V).
est inférieur à KL x p. Mais KL x ^ est égal au segment parabolique EQMI. Donc le produit de KL par la circonscrite est inférieur il ce segment parabolique EQMI.
Or nous avons prouvé que
KLx ER-QExEF, KLxXSrrPF X Ff., KL X YT = or, X (IH, KLxZV = NIlxUL
Donc, en sommant, le produit de KL par la figure circonscrite est égal il la somme QE x EF + PF.FG + OG.GH + NH.HI. Si maintenant, sur les droites FP, GO, HN, IM qui décroissent continuellement il mesure qu'elles se rapprochent du sommet de la parabole, on abaisse, des points Q, P, 0, N, les perpendiculaires (parallèles ;i la
hase) Qy, PO, OX, No, il est clair <[iie le rectangle QEFy =. QE.EF; (le même OF =- PF.FG ; XG = OG x GH; enfin (pH^NII.HI. Donc le produit il(^ KL par la circonscrite est égal à la somme des rectangles YR. OF, a g, çH.
IMais nous avons prouvé que ce produit de KL par la circonscrite est inférieur au segment parabolique EQMI. Donc
yE + OF + >.(1 + oH < EQMI ;
ce qui est absurde, puisque la somme forme une figure composée (le rectangles, évidemment circonscrite au segment j)arabolique, et ])ar conséquent supérieure. Donc (3 n'est pas plus grande que la courbe EXA.
Nous allons prouver qu'elle n'est pas plus petite. Supposons en
eflet ^ < EXA, et soit S l'excès de la courbe sur la droite j3.
Girconscrivons à la courbe sur une figure {fig. 12G) séparée (^désignée comme cinquième en caractère grec) une suite de segments de
tangentes inférieure à la courbe EXA, mais en sorte que l'excès de la courbe sur elle soit inférieur à 0. Soit cette suite de serments de tan-
gentes : XR ^ YS + ZT
