I -, ,,^ ,^ siiif. conoïdc HPQ VQ
droite KO. On aura — ,. -, — nTrr,; = ttt, ' ranport des ordonnées.
Si l'on construit de niènic la parabole RP égale à la courbe (]()R, on
aura encore
siirC. coiiDidc lU'Q .surf, colloïde EOCB
PO
Y,Ty) et ainsi de suite indétiniiuent.
Soit maintenant (/iff. m8) la parabole FBAD d'axe EA , d'ordonnée KE. On demande la mesure de la surface courbe du solide engendré par la rotation de la figure ABFE autour de l'axe AE.
Fiff. M S.
Prenez AC égal au quart du paramétre; construisez l'ordonnée CA\: prenez EH = A(^, (U construisez l'ordonnée GH, puis le carré é(|uivalentii (;BGH, ce qui est facile d'après Archiméde. F^a diagonale de ce carré équivalent h CBGIi sera le rayon du cercle équivalent à la surface (;ourbe du conoïde FAD engendré autour de l'axe AE.
Le subtil géomètre qui :i récemment démontré l'égalité de la spirale à la parabole aurait pu concevoir le théorème plus généralement et établir une comparaison entre un nombre indéfini de spirales et de paraboles d'espi'ces diirérentes, grâce à la proposition suivante qui peut être énoncée île façon à servir d'exemple général :
Soit sur \n/ig. 3S du Livre de Dcttonville (/ig. 119), une spirale d'espèce quelconque, c'est-à-dire, telle ([ue le rapport d'une puissance (|U(dcon(|ue du rayon AB à la même puissance du rayon At] soit égal
[207, -îdsi l'HO POSITIONS A LALOUVl^RK. 17!)
;ui rapport tl'iiiic puissance quelconque de la circonlerence totale BKiS]} à la puissance semhlahle de l'arc K81{.
l'ip;. 119.
(Construise/ la parabole dont la demi-base ou la dernière ordonnée RP soit égale au rayon AB, et dont l'axe AR soit égal à une fraction de la circonférence totale BE8B, fraction ayant pour numérateur l'exposant de la puissance du rayon AB, et pour dénominateur la somme des exposants de la puissance du rayon AB et de la ])nissance de la circonférence BE8B; ({u'eiilin les [)uissances des ordonnées de la parabole, ayant pour exposant la somme de ceux des puissances du rayon AB et de la circonférence BK8B, soient entre elles dans le même rapport que les puissances des a])scisses dont l'exposant est celui de la circonférence BEHB. Je dis que la spirale et la parabole ainsi coiislruites seront toujours égales entre elles dans tous les cas.
Par exemple, soit d'abord la spirale d'Arcbimède et la parabole
, AB cire. HE8B ,, , • , , , .,,„
simple : -r— r = ,.,,,, • (.oiisiruisez la |)arabole AOP avant pour
(lernièr(! ordonnées RP=AB, et pour axe AR une fraction de la circonférence BE8B, ayant pour numérateur l'exposant de la puissance du rayon AB (ici r) et pour dénominateur la somme des exposants des puissances du rayon et de l'arc (ici 2; car dans ce cas l'exposant de la puissance de l'arc est i). Ainsi l'axe AR devra être ^ de la circonféi-ence constitutive de la spirale, et dans la parabole, une puissance de l'ordonnée RP ayant pour exposant la somme de ceux des puissances (lu rayon et de l'arc (ici 2) doit élre à la puissan(;e semblable de l'ordonnée ()Q comm(- une puissance de l'abscisse AR avant |K)ur expo-
sant celui do la circonférence BE8B (ici i) est à la puissance semhlablo de l'abscisse AG, c'est-à-dire que l'on doit avoir • ( j^) = '^X"
La courbe parab(dique PQA et la spirale BCDA seront égales.
^ . , , AR2 cire. BESR „ ,, ,
Supposons maintenant : -rr^ = ,,u,, • Dans ce cas 1 exposant
' ' AL' arc h8H '
(le la puissance du rayon AB est 2, celui de la puissance .<lc la circonférence est r. La parabole se construira suivant la règle ci-dessus : l'ordonnée RP sera prise égale au rayon AB, l'axe AR = f cire. BE8B, enfin (tttt ) = ç-j- Cette parabole et la spirale correspondante seront
égales.
o -, AR cire. RE8B ,^ , 1 1 r 1 ■ m»
Soit encore : rp: =■ — =— r— • Dans la parabole, 1 ordonnée RI'
'^'' arcESB"
sera prise égale au rayon AB, l'axe AR = !, cire. BKiSB, et entin
\-fr\) ~ ( fT) ■ " ^ *"""'* toujours égalité entre la parabole el la s|)irale.
o -, f ^ I 1 AR^ circ.RESR , , , ,
Soit enlin dans la spirale : .-..-, = — ; dans la parabole
^'' arrE8R
correspondante et égale ;i cette spirale, on aura, comme toujours, l'ordonnée RP = AB, l'axe RA = ? cire. BE8B, et enfin pour le rapport
des ordonnées et des abscisses : ( yt^ ) = ( ft ) •
La métliode sera indéfiniment la même pour comparer les spirales et les paraboles d'espèce quelcon(|ue. Il n'y aura d'ailleurs aucune dillicullé pour égaler des arcs de spirale augmentés ou diminués avec des arcs de la parabole correspondante. D'après ce (]ui précède, il y a h l'intérieur d'un même cercle une infinité de spirabis différentes d'es- |)èce et de longueur; bien ])lus, il v en a une infinité qui surpassent la circonférence du cercle, ce que l'on peut compter parmi les merveilles de la Géométrie. Cependant il n'y en a pas qui ne soit inférieure à la somme de la circonférence et du rayon, et il n'y en a pas qui ne soit |)lus grande (jiie le ravon.
DE LA COiMPARAISON
