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dis que le rapport . .. , = tv^xTi ^^ P^"" conséquent est donne. Soil

Kerxat. — \\\.

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[ÎÎG, ÎÎ7]

3RP- DC donc posé —rrrr-, -- TTf- La droite IH donnée par cette construction sera 1 aQd- III '

égale à la courbe parabolique DAC.

Si cette construction d'ailleurs ne concorde pas avec la démonstration précédente, il faut la corriger d'après cette dernière.

Si cette propriété de notre courbe parabolique ne suffît pas pour la l'aire placer par les géomètres au rang des objets particulièrement, remarquables de leur Science, ce qui va suivre lui assurera peut-être ce rang. Car qu'y a-t-il de plus singulier que de voir, d(; cette seule courbe, en dériver une infinité d'autres dilTérentes de cette première et dilTérentes entre elles, et qu'on démontrera néanmoins être égales à des droites données? Voici la proposition générale :

Soient ( /ig. 1 28) CiVlA no/rc courbe parabolique. AB sa hauteur, (]]i sa demi-base; sur cette courbe, on en formera d'autres en nombre infini de

cette façon. Si ion mène perpendiculairement à la base des droites quelconques DMNL, EKIH, coupant la courbe aux points M, K, la nouvelle courbe CNKi à former de cette première sera de telle nature que DN soit égale à l'arc correspondant CM de la première courbe, El à l'arc CMK de la première courbe , et de même pour toutes les autres perpendiculaires. Cette nouvelle courbe CNIG sera différente d'espèce de la première.

On formera sur cette seconde courbe une troisième CLHF, en sorte que DL, EH soient respectivement égales aux arcs CN, CNl de la seconde courbe. Sur la troisième, on formera de la même façon une quatrième, sur la quatrième une cinquième, sur la cinquième une sixième, et ainsi de

suite à l'infini. Je dis que toutes ces courbes CNIG, CLHF, etc. à l' infini seront, de même que la première parabolique CMKA, égales à des droites données.

Il faut remarquer que toutes ces courbes, en nombre indéfini, sont purement géométriques, et, cependant, on ne peut leur appliquer cette prétendue loi de la nature, dont j'ai parlé au commencement de cette Dissertation. Quoique, en effet, on suppose les droites DN, El égales aux arcs CM, CMK, elles n'en sont pas moins posées comme égales à des lignes droites, d'après la démonstration précédente. Car, soit donné un point quelconque D, d'après ce qui précède, une droite égale à l'arc CM est donnée; donc la droite DN posée par construction égale il l'arc CM doit être considérée comme une droite véritablement donnée et non supposée égale à un arc. De même pour les autres. Donc la courbe CNIG est véritablement géométrique, et une l'ois que nous aurons démontré qu'elle est égale ii une droite donnée, il s'ensuivra que la courbe qui en dérive, CLHF, est aussi purement géométrique, et de même toutes les autres indéfiniment.

La démonstration est facile en posant d'abord une proposition qui soit générale pour toute cette question.

Proposition VI.

Soient {fg- 1 29) une courbe quelconque ONR, de la nature des précédentes, dont 0 est le sommet, OVI iaxe (^ou l'ordonnée, car la démonstralion est la même dans les deux cas). Je forme sur elle une autre courbe OAIÎ, telles que ses ordonnées soient égales aux arcs correspondants de la première courbe; c'est-à-dire VA = UN, lE -^ OR, et ainsi de suite. Je mènerai comme suit la tangente en un point donné de cette nouvelle courbe. Soit M le point donné, je mène l'ordonnée El qid coupe la première courbe en R. Je mène en ce point R la tangente RC à la première courbe. Cette tangente rencontre l'axe au point C. Je pose

T77 = TTT' et je joins ER. Je dis que KR est tangente en M à la nouvelle Cl lU •' •' ' ^

courbe EAO.

En ciTet, si je prends sur l'axe un point quelconque V, et si je mène l'ordonnée VNA coupant la première courbe en N, la tangente RC en S, la seconde courbe en A, enfin EB en Y, il me suffît de prouver <|ue l'on a toujours VY>VA, pour établir que EB ne coupe pas la nouvelle courbe du côté du sommet. Or cette preuve est facile à donner.

Fig. 129 (8).