Z P FD
En effet, VA =. ON = ÔK - NR. iMais RS < UN. suivant le corollaire de la première proposition. Donc OR — RS > OR — RN. Mais VY -- OR — RS, comme nous allons le prouver tout à l'heure. Donc VY (ordonnée de EB) > VA (ordonnée de l'arc OAE). Donc tous les points de EB du côté du sommet sont extérieurs à la courbe; donc EB ne coupe pas la courbe du côté du sommet.
Mais je dis qu'elle ne la coupe pas davantage plus bas. Je prends en effet un point quelconque H, par lequel je mène l'ordonnée HZ, qui coupe la première courbe en D, le prolongement de RC en F, la seconde courbe en Z, le prolongement de EB en Q. Si je prouve qu'en tous cas HQ > HZ, j'aurai prouvé que tous les points de EB, même au-dessous de E, sont extérieurs à la courbe, et par suite la droite EB sera démontrée toucher la seconde courbe au point E.
HZ = OD = OR + RD, par construction. Mais RF > RD, suivant le corollaire de la première proposition, RF étant un segment inférieur
de la tangente RC. Donc OR + RF > OR + RD. Mais OR + RF = HQ,
comme nous allons le prouver tout à l'heure, et OR + RD =:; HZ, par
construction. Donc en tous cas HQ > HZ. Donc la droite EB est tangente en E à la seconde courbe.
Rkste a l'KoiJVEK en premier lieu que OR — RS = VY.
Je mène EM parallèle à l'axe et rencontrant en M le prolongement
de VY. Par construction, rj7 = Ty
, j . El YV YiM . RC RS IB "^ VR ~ MÉ' ^^ Cl " VI '■■
donc
YM RS ME
Yj-- Mais, il cause des parallèles, ME = VI; donc YM = RS.
Mais aussi EI = VM; donc El — MY — VY. Or, par construction, EI=:ÔR. Donc OR-MY(=RS) = YV. Premier point qu'il fallait démontrer.
On raisonnera de même au-dessous de l'ordonnée El. Menant EP parallèle à l'axe, on prouvera que QP — RF.
En ciret,^ou§Sou§J = ^ou|ï- Mais PE = IH; donc QP ^ RF.
lt> Un Jrr. Li in.
D'ailleurs HQ = HP + PQ ; HP = lE = OR; PQ = RF, comme on vient de le démontrer. Donc OR -i- RF = HQ. Second point qu'il fallait démontrer.
11 est donc prouvé que EB est tangente ii la seconde courbe au point E, ce qu'il fallait démontrer.
Soit maintenant (/Ig. i3o) notre courbe parabolique GKA, de hau-
Fig. i3o (9).
teur AE, de demi-base GE, de paramètre AD. Soient, comme précédemment, CD = jAD, et B le milieu de AC. De cette première courbe
198 (EUVRES DE FERMAT. [2:il, 23î]
j'en forme une autre à partir du point G, soit GNS, qui rencontre en S l'axe de la première, la propriété de cette nouvelle courbe étant que, si l'on prend un point quelconque F et que l'on élève la perpendiculaire FKN qui rencontre les deux courbes en K et N, on ait toujours FN égal à l'arc GK de la première courbe. Menons KM parallèle à la base et, par ce même point K, TKH tangente à la première courbe et rencontrant l'axe en T, la base en H; par le point N de la seconde courbe, menons la tangente RNXI, qui rencontre la base en 1; enfin des deux points R, X, pris arbitrairement de part et d'autre sur cette tangente, abaissons sur la base les perpendiculaires XY, RV.
D'après ce qui précède, on a constamment, quelle que soit la tan-
. jrr,, KT- KL- FE^^AR KT^ Kll- ,
gente Kl, -,^, ou ^^, -^ -^^— ; mais j^iî^^-j^j^ " h^' ^' cause
des parallèles; donc j = — ^^tt D autre part, d après la propo-
sition précédente, r.., = -y-^ car les cotes sont proportionnels,
comme le démontre cette proposition; donc les carrés le sont égale-
, r, NF= FE-hAR , (NF^-i-Fr)(— NP) FEn-aAR
ment. Uonc-„v7 ^ — . ,.- — ; componenao : r,.. = ..
l'I- AH ' H- A 15
.. . NI- RN^ . . NX- , . ,, , . . ,
Mais ï,.7 — -pyT. et aussi — i,^: î donc, si I on prend un point quelconque N sur la seconde courbe, le rapport des carrés du segment d(^ (angente et du segment de base correspondant, soit d'un côté, soit de
l'autre, sera — . Si donc je prolonge la base GEde EO - 2 AH.
qu'en 0 j'élève la perpendiculaire OP -- AB, on aura toujours, pour
notre seconde courbe : ^ r-, ou tv.>, = — -•
Cela posé, il est clair que les autres courbes en nombre indéfini, qu'on tracera comme nous l'avons indiqué, sont de telle nature que, par exemple, dans la troisième, le rapport des carrés du segment de
la tangente et du segment de base correspondant sera -.t .
en prenant F au point où tombe la perpendiculaire abaissée du point de contact sur la base.
[J:î3.'-'31] J)ISSERTATI0N GÉOMÉTRIQUE. 199
Dans la quatrième courbe, le même rapport des carrés des segments
correspondants do la tangente et de la l)ase sera — -tty — ' ^^ ainsi de suite indéfiniment.
La démonstration est toujours la même et s'applique évidemment en tous cas.
Ceci établi, il est facile d'arriver au théorème général.
Proposition Vil.
Soient (Jig. i3i) KA notre courbe parabolique, AI son axe, IK sa demi-base. Je forme sur elle la seconde courbe EXYZO de telle sorte.
commejc l'ai dit plus haut, qu'une ordonnée quelconque FX soit égale à l'arc de la première courbe interceptée par cette ordonnée ou perpendiculaire. Je divise la base en un nombre quelconque de parties égales EF, FG, GII, III; aux points F, G, H, j'élève des perpendiculaires qui coupent la seconde courbe aux points X, Y, Z. Soient AD le parami'tre de la première courbe, CD sa neuvième partie, B le milieu du reste AC. Soit, dans le prolongement de la base, IK ~ 2AB et, élevée en K, la perpendiculaire KL — AB. Par le point K, sur l'axe KE, j'imagine décrite la parabole simple ou d'Archimède ayant KL pour
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paramètre; soit KMOQ cette parabole; par les points E, F, G, H, I, j'élève des perpendiculaires à la base qui rencontrent cette parabole aux points Q, P, 0, N, M.
D'après le corollaire de la proposition précédente, comme EXO est la seconde courbe dérivée de la première, c'est-à-dire formée par le procédé que nous avons déjà indiqué plusieurs fois, si l'on y prend un point quelconque Y, et que l'on mène le segment de tangente YT,
on a —,.2 = i/i'" Mais, en multipliant de part et d'autre par KL,
