SUR L'EMPLOI DE LA PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE

l'OUIl LA QUADRATURE DES PARABOLES ET HYPERBOLES A l'iNFINI.

Archimèdo n'a employé la progression géométrique que pour la seule quadrature de la parabole; dans ses autres comparaisons entre quantités hétérogènes, il s'est borné à la seule progression arithmétique. Est-ce parce qu'il avait trouvé que la progression géométrique se prêtait moins bien ii la quadrature? Est-ce parce que l'artifice particulier dont il s'est servi pour carrer avec cette progression la première parabole peut dilTicilement s'appliquer aux autres? Quoi qu'il en soiL, j'ai reconnu et éprouvé cette progression comme très féconde en quadratures, et je communique volontiers aux géomètres modernes mon invention qui permet de carrer, par une méthode absolument identique, et paraboles et hyperboles.

Toute cette méthode dérive d'une seule propriété bien connue de la progression géométrique, c'est-à-dire du théorème suivant :

Etant donnée une progression géométrique dont les termes décroissent indéfiniment, la différence des deux termes de la raison de cette progrès-

iroC] MÉTHODE DE QUADRATIIHE. 217

sion est au plus petit des deux comme te plus grand de toits les termes de la progression est à la somme de tous les autres jus(/u à l'infini ( ' ).

Cela posé, soit d'abord proposée la quadrature des hyperboles : Je définis hyperboles des courbes d'espèces variant à l'intini, qui, comme DSEF (/ig. i/j-). ont cette propriété que, si l'on suppose, sous

Fis- ''r-

un angle donné quelconque RAG, les asymptotes UA, AC que l'on peut prolonger indéfiniment comme la courbe elle-même, et (jue si l'on mène parallèlement à l'une des asymptotes et comme on le voudra les droites GE, HI, ON, MP, RS, etc., on aura toujours le même rapport entre une puissance déterminée de AH et la même puissance de AG d'une part, et une puissance de GE (semblable ou différente par rapport à la précédente) et la même puissance de HI, d'autre part. J'entends par puissances, non seulement les carrés, cubes, bicarrés, etc., dont les exposants sont 2, 'i, 4, etc., mais aussi les racines simples dont l'exposant est 1 .

Je dis (pir toutes ces hyperboles à l' infini, sauf une seule, celle d'Apollonius ou la première, peuvent être carrées au moyen d'une progression géométrique par une méthode uniforme et constante.

Soit par exemple l'hyperbole dont la propriété est détinie par l'éga-

( ' ) Soii S la somme des termes d'une progression géométrique décroissant indcliiiimcnt dont le plus grand terme est a, et la raison q — - ; comme 7 < 1, c > n. Fermât

énonce la relation

-^ ; d'où l'on tire immédiatement S — a- —

l''i:iiMAr.

218 ŒUVRES DE FERMAT. [?n7. 2581

114" f V i^ k- Hl

lifé conslanto dos rapports ^^^ = -^^^ et ^|j, = ^y^^ etc. Je dis que l'ospaco indéfini qui a pour base GE et qui est limité d'un côté par la courbe ES, de l'autre par l'asymptote indéfinie GOR, est égal à une aire reclilignc donnée.

Imaginons les termes d'une progression géométrique décroissant indéfiniment; soient AG le premier, AH le second, AO le troisième, etc. Supposons que ces termes soient assez rapprochés les uns des autres pour que, suivant la méthode d'Archimède, on puisse adégaler, comme dit Diophanle, ou égaler par approximation le parallélogramme rectiligne GE x GH au quadrilatère mixtiligne GHIE; nous supposerons de plus que les premiers intervalles GH, HO, OM, etc. des termes progressifs soient suIRsamment égaux entre eux, pour que l'on puisse facilement employer la méthode d'Archimède de réduction à l'impossible, par circonscriptions et inscriptions. H suffit de faire cette remarque une fois pour ne pas s'obliger à revenir et à insister constamment sur un artifice bien connu de tous

les géomètres.