LU ~ •' '^ Sa dy
La même relation aura lieu pour tous les autres points; on prouvera
de même, par exemple, que = — > etc.
'^ in sous-tangi2 vj
Donc (Appendice, prop. I) les courbes 912'^, Oît^ ayant même axe
et leurs ordonnées étant aux sous-tangentes constamment dans le
même rapport que leurs correspondantes de l'une à l'autre courbe,
ces courbes seront égales entre elles ainsi que leurs demi-bases et les
ordonnées à égale distance des sommets.
Mais, par construction, la demi-base '.j;8 = y 1 19; donc 7119 --OS.
Mais Go = oXv/I; donc la courbe parabolique X,ii9~SXv/|. Mais ok = BE et, dans la construction des courbes dérivées de la première AC, on suppose BE = AD.
214 ŒUVRES DE FERMAT. [25?, îS'i]
Donc parab. 5(^ 1 1 9 — yi AD. Mais on a aussi y^i iç)-= yJ'-0^\*, car la base y^H == v'iBC == y/^NO, et l'axe 89 r^ AB == NM r.. y/ÎNP. Les paraboles O4P, 7 119 étant de même nature, et l'axe et la base de la parabole X' '9 étant respectivement dans le rapport \/~ avec l'axe et la base de la parabole O/jP. on aura aussi {Appendice, prop. Il ) parab. ^ 1 1 9 = V^pa^^b. O/j P. Puisque nous avons ainsi prouvé que la parabole /, 1 1 9 est dans le rapport \j-., soit avec la parabole 0 4 P. soit avec la courbe AD, la courbe AD et la parabole O4P seront égales, c. y. f. ».
On prouvera de même que la courbe AE et la parabole 0 t P sont égales.
.. (f . BE^ AV-(-2RC 1 ... 1. , ■ ^ ,
bn etiet, vtt,- - - — -, — , comme il a ete démontre ; componcnao etc.,
¥AV AV-f-3BC ,. . ^^. . ,„, Ef.^ BF^
,,-(-. " iTT^ J>1ais (Dissertation, prop. VI): î,-tt, ~ -, . rr-r,;
R(r- UL ^ '11/ j{(,2 (soiis-lang t )^
RF'- AV-H3BC
donc ; ; .T-; = j,-
(sous-langp)- BC
Pour la suite, nous suivrons de point en point la démonstration précédente, sauf que dans la figure à part {//g. i4"). après avoir pris Xâ — BF, on prendra SO -- y/^^ BF ou v'I^^; bi courbe Xçj3 sera égale ii la courbe FA, et Oti^ sera de telle sorte que ses ordonnées suivent le
rapport des bases —■
Dans l'autre figure à part {/ig. i4')' où sont les courbes 9117,, 9 i2'|,on prendra comme ci-dessus 9 8 --:NM--AB-j3S, mais ensuite la base 8y — y/^ON = v'il^CB. La parabole 7 119 sera de même nature que les paraboles CTA ou 0 3 M. On en formera la courbe (|> 129 dont les ordonnées S'\i, 10 12 seront, comme ci-dessus, égales aux arcs 79, 119, et on prouvera, comme ci-dessus, que les courbes ^ttO, 9 i i 7, sont égales et semblables, c'est-à-dire identiques.
On conclura l'égalité des bases OS, (|;8; par suite la base '\>S ou la courbe 9 1 1 x= y/^SX — y/^BF ^ y/~ courbe AE. Mais on aura démontré précédemment que parab.y 11 9 rr yiparab. 0 5 Q. Donc la courbe AE et la parabole 0 5 Q seront égales.
|25'i] DISSEKTATION GEOMETUIQUE. ^ito
On emploiera lo mémo raisonnement pour les cas subséquents, et l'on établira ainsi la vérité générale du théorème.
Qui aura lu attentivement la Dissertation précédente et cet Appendice reconnaîtra aussitôt les principaux fondements de notre méthode et verra qu'on en déduit très facilement la mesure des courbes.
