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, . ill X UO AO

On prouvera de même que tt^ — tt^ = ,rr-

Mais les droites AO, HA, GA qui constituent les rapports des parallélogrammes, forment, par construction, une proportion géométrique ; donc les parallélogrammes en nombre indéfini Glî x GH, HI x HO, ON X NM, etc. formeront une progression géométrique continue dont la raison sera ttv- Par suite, selon le théorème constitutif de notre

méthode, GH, différence des deux termes de la raison, sera au plus petit terme GA, comme le premier terme de la progression des parallélogrammes, c'est-à-dire comme le parallélogramme EG x GH, à la somme de tous les autres parallélogrammes en nombre indéfini, ou autrement, suivant Vadéqualion d'Archimède, à la ligure limitée par HI, par l'asymptote HK et la courbe INI) prolongée indéfiniment.

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Mais, si 1 on mullinlic les deux termes par Gl*., tt-t — .-.ir — tt-t-;

' • (lA dij X w.\

donc GE X GH est à cette figure indéfinie dont la base est HI comme GE X GH est à GE x GA. Donc le parallélogramme GE x GA, qui est une aire rectiligne donnée, osl adégal à la figure précitée; si l'on ajoute de part et d'autre le parallélogramme GE x GH, qui, par suite des divisions indéfiniment poursuivies, s'évanouira et se réduira à rien, on arrive à cette vérité qu'il serait facile de confirmer par une démonstration plus prolixe, menée à la façon d'Archimède : que dans ce genre d'hyperbole, le parallélogramme AE est équivalent à la figure comprise sous la base GE, l'asymptote GK et la courbe ED indéfiniment prolongée.

Il est facile d'étendre cette invention ii toutes les hyperboles définies ci-dessus, sauf la seule exception que nous avons indiquée. Soit en

eiiet une autre hyperbole ayant pour propricîte que ytv -^ p-ri' *''''^pour les autres ordonnées.

Prenons, comme ci-dessus, une série indéfinie de termes eu progression; on démontrera de même que les parallélogrammes EH, 10, MN, etc. forment de même une progression indéfinie; mais, dans (;e cas, le rapport du premier parallélogramme au second, du second au

troisième, etc. sera ;,,.. ce nue montrera immédiatement la composi-

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tion des rapports. Donc le parallélogramme EH sera à la figure comme OG à GA. ou, en multipliant les termes par GK, comme OG x GE à GE X G A : vicissim OG x GE est à EH ou GE x GH comme GE x GA à la

,. ,, . 0(1 xGE OG 9. j' r i • , i,

fiffure. Mais nr; — tt,.- = tttt ou - par adéquation ; car les intervalles

voisins de la base sont, par construction, sensiblement égaux entre eux. Donc, dans cette hyperbole, le parallélogramme EGA, qui est ésal à une aire rectilisne donnée, sera le double de la tisfure comprise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ESD indéfiniment prolongée.

La démonstration sera la même dans tous les autres cas; il n'y a que pour la première hyperbole, c'est-à-dire la simple ou celle d'Apollonius, que la méthode est en défaut. La raison en est que les parallélogrammes EH, 10, NM y sont toujours égaux; les termes constitutifs de la progression, étant dès lors égaux entre eux, ne donnent aucune différence, et c'est précisément la différence qui fait tout le mystère de cette affaire.

,1e n'ajoute pas la démonstration que, dans l'hyperbole commune, les parallélogrammes en question sont toujours égaux; la chose se

voit immédiatement et dérive aussitôt de cette propriété de l'espèce