A1(>R AR X RE RE

la communauté du coté AB. Mais BT comprend cinq intervalles : TS.

SE, ER, RV, VB qui, à cause de notre méthode logarithmique, sont

22i ŒUVRES DE FERMAT. [2G5, îGfii

censés égaux entre eux; BE en comprend trois : ER, RV, VB; donc, dans ce cas, le rapport du parallélogramme BD à la figure est de 5 h 3.

On peut de là tirer facilement une règle universelle. Il est clair en effet que le rapport du parallélogramme BD à la figure AICB est toujours égal au rapport de la somme des exposants des puissances de l'ordonnée et de l'abscisse à l'exposant de la puissance de l'ordonnée. Ainsi, dans cet exemple, la puissance de l'ordonnée AB est le cube, l'exposant 3; celle de l'abscisse est le carré, exposant i. On doit avoir, ainsi que nous l'avons établi comme règle constante, le rapport de la somme 3 -f- 2 ou 5 à 3, exposant de l'ordonnée.

Pour les hyperboles, on trouve aussi facilement une règle universelle. Dans une hyperbole quelconque {fig- i4-) ^^ rapport du parallélogramme BG à la figure indéfiniment étendue RGED sera égal au rapport de la différence de l' exposant de la puissance de l' ordonnée et de celui de lapuissance de l'abscisse à l'exposant de la puissance de l'ordonnée. Soit,

par exemple, r^ — ^'^; la différence des exposants du cube et du

' JrV 111"

carré, 3 — 2 — i; l'exposant de la puissance de l'ordonnée, qui est au carré, est 2. Dans ce cas le ra|)port du parallélogramme à la figure sera de i à 2.

Pour ce qui regarde les centres de gravité et les tangentes des hyperboles et paraboles, leur invention, dérivée de ma Méthode de maximis et minimis, a été communiquée aux géomètres modernes, il y a déjà environ vingt ans. Les plus célèbres mathématiciens de la France voudront bien sans doute le faire savoir aux étrangers, afin que dans l'avenir il n'y ait point de doute à cet égard.

Il est uemarquable combien le travail des quadratures peut être avancé par la théorie qui précède; car elle permet de carrer facilement une infinité de courbes auxquelles n'ont jamais pensé les géomètres tant anciens que modernes. Nous allons condenser brièvement ces résultats sous certaines règles.

Soit une courbe dont la propriété conduise à l'équation suivante :

//- — a-= e- (on voit immédiatement, que celte courbe est un cercle).

On peut ramcnor la puissance do, l'inconiuic e^ à une racine par une division (application ou parabolisme). Nous pouvons en effet poser

car on est libre d'égaler le produit de l'inconnue u par la connue h au carré de l'inconnue c. On aura donc alors

h- — a-z= bii.

Mais le terme hit peut être décomposé en autant de termes qu'il y en a dans l'autre membre ilo l'équation, tout en afTectant ces termes des mêmes signes que ceux de l'autre membre. Posons donc

bu =. bi — by,

eu représentant toujours, comme Viète, les inconnues par des voyelles.

Il viendra

b''-—a''=bi—br.

Egalons chacun des termes d'un membre au correspondant de l'autre.

On aura

b-^bi d'où i^b sera donné,

— a^:= — by ou a-=:by.

Le point extrême de la droite y sera sur une parabole primaire. Ainsi, dans ce cas, tout peut être ramené à un carré; si donc on ordonne tous les f- sur une ligne droite donnée, leur somme sera un solide rectilignc donné et connu.

Soit maintenant proposée la courbe dont l'équation est

«'-I- ba-= f\

Qu'on applique «' à une aire donnée, soit par exemple : c' = ù'-u. La droite ;/ pouvant être composée de plusieurs inconnues, soit

a ' + ba- = b- i -{- b-f.

Egalons terme à terme, savoir :

a^z^ b-i, 011 aura une paraljole sous un cuLie cl une racine.

ba-^: b-f, on aura une parabole sous un carré et une racine, c'esl-à-dire primaire.

hEiiMAT. — m. 29

Or ces lieux paraboles sont carral)les; donc la somme des e' ordonnés sur une droite donnée formera un là-plan cju'on pourra facilement égaler à des quantités rectilignes du même degré.

S'il y a dans l'équation un plus grand nombre de termes, aussi bien (|ue s'ils sont composés avec différentes puissances de l'une ou de raulr(; inconnue, ils n'en pourront pas moins d'ordinaire être traités par la même méthode, au moyen de réductions légitimes.

Il est donc clair que si dans la première équation : Ir — a- = c-, au lieu de e-, nous substituons /v/<, nous pouvons considérer comme un plan la somme de tous les u, ordonnés sur une ligne droite, et la carrer. En effet la somme des u n'est autre chose que celle di^s e'\ divisée par une droite donnée h.

ï)o même dans la seconde équation, la somme des a n'est antre chose que celle des c\ divisés par le carré donné b-.

Donc, aussi bien dans le premier que dans le second cas, la somme des II fait une figure égale à une aire rectiligne donnée.

(<es opérations se font ^pnv synércse et s'accomplissent, comme il est clair, au moyen de paraboles.

.Mais on n'obtient pas moins de quadratures yt^v diérèse, au moyen d'hyperboles, soit seules, soit unies à des paraboles.

Soit proposée, par exemple, la courbe ayant pour équation

On peut de même poser e* = /»//, ou bien, pour avoir de part et d'autre trois termes dans chaque membre de l'équation

Il viendra

bu ^ bo -^- bi -\- by.

r= bo -\- bi-v- by et, égalemeiil. lormc ;i tcrnio :

i" 4 =l>o-, multinliant i)ar a'' des deux cotés, h^ — a''bo; divisant

par h; b''^a''<), équation d'une hyperbole. On sait en effet (jue les

[27U,27ll MÉTHODE DE QUADIIATUHE. 227

équations constitulivos des hyporbolos ronfcrmcnt dans un membre une quantité donnée, dans l'autre le produit de puissances des deux inconnues.

2° — p ou — ^= hi. Multipliant par «' et divisant par h de part et

d'autre : lj'' = a^i, équation d'une hyperbole diiïérente de la précédente.

3" -7 ou a-= Ijy; équation d'une parabole.

On voit donc que, dans l'équation proposée, la somme des u ordonnés sur une droite donnée est égale à une aire rectiligne donnée; car la somme de deux hyperboles carrables et d'une parabole donne une aire égale à un rectiligne ou à un carré donné.

Rien n'empêche au reste de diviser séparément, comme on l'a fait, chacun des termes du numérateur par le dénominateur. Le résultat est en ciTet le même que si l'on divisait en une l'ois par le dénominateur le numérateur entier composé de trois termes. Cette division séparée permet de comparer facilement chaque terme d'un des membres de l'équation à son corrélatif dans l'autre.

Soit propose encore : ^ — = e- .

Posons e' = b-u, ou bien, à cause des deux termes du membre corrélatif, c^ = h^i — fy-y. On aura :

1° -^ = — = b-i; multipliant par a- et divisant par b-, Z* ' = a-i, équation d'une hyperbole carrable.

2° — = b'^y, multipliant [)ar a^ et divisant par b'-, b*^=a^y, équation constitutive d'une hyperbole carrable.

Si donc on revient à la première équation, on aura, dans ce cas, donnée en rectilignes la somme de tous les e'\ ordonnée sur une droite donnée.

Mais rien n'e.mi>êciie d'aller plus loin dans le travail des quadratures.

Soit (^g. i45) une courbe quelconque ABDN, de base HN, de diamètre HA; soient CB, FD les ordonnées sur le diamètre, BG, DE les ordonnées sur la base. Nous supposerons que les ordonnées dé-

croissent constamment de la base au sommet, comme dans la tigure : c'est-à-dire HN > FD ; FD > CB, et ainsi de suite.

Fis. .-'|5.

La figure formée par les carrés do HN, FD, CB, ordonnés sur la droite AH, c'est-à-dire le solide CB'xCA... + FD*xFC... + NH-xHF, est toujours égale à la figure formée par les rectangles BG x GH, DE X EH doublés et ordonnés sur la base HN, c'est-à-dire au solide 2BG.GH.GH... + 2DE.EH.EG, etc., la série des termes de part et d'autre étant supposée indéfinie. Or, pour les autres puissances des ordonnées, la réduction des termes sur le diamètre aux fermes sur la base se fait avec la même facilité, et cette observation conduit à la «fuadrature d'une infinité de courbes inconnues jusqu'ici.

En elTet, la somme des cubes de HN, FD, CB, ordonnés de méuKï sur la droite AH, sera égale à celle des produits : BG.GH-, DE. EH-, triplés et ordonnés de même sur la droite HN, c'est-à-dire que le 1>iplan CB'.CA. ..-i- DF'.FC.-f-HN'.HF sera égal à la somme des biplans 3(BG.GH-.HG...+ DE.EH-.EG).

De même la somme des bicarrés de HN, FD, CB, ordonnés sur la droite AH, sera égale à (7Mrt//-cyf«.« celle des bi-plans BG.GH'.. .DE. EH', ordonnés de même sur la droite HN.

De là dérivent, comme on va le voir, une infinité de ([uadratures.

Soit, par exemple, cette courbe ABDN, dont on donne la base HN et le diamètre HA. Appelons analytiquement b le diamètre donné HA, rfla base donnée HN, eune ordonnée quelconque FD, a une coordonnée quelconque HF, et soit, par exemple, />- — a- = c- l'équation constitutive de la courbe (qui sera un cercle). D'après le théorème général

qui précède, la somme tles e-, oriloiuiés sur la droite b, est égale à la somme des produits HG.GIÎ, doublés et ordonnes sur la droite HN ou d; mais la somme des e-, ordonnés sur b, est égale, comme on l'a prouvé plus haut, ii un rectiligne donné; donc la somme des produits HG.GB, doublés et ordonnés sur la base d, forme une aire rectiligne donnée; si l'on prend la moitié, la somme des produits HG.GB, ordonnée sur la base d, formera de même une aire rectiligne donnée.

Pour passer facilement, et sans embarras de radicaux, de la première courbe à la nouvelle, nous devons employer un artifice qui est toujours le même, et dans lequel consiste notre méthode.

Soit HE.ED un quelconque dos produits à ordonner sur la base; comme nous appelons analytiquement e l'ordonnée FD ou sa parallèle HE, a la coordonnée FH ou sa parallèle DE, nous appellerons ea le [)roduit HE.ED. Egalons ce produit ea, formé de deux droites inconnues et indéterminées, à bu, c'est-;i-dire au produit de la donnée b [)ar une inconnue n, et supposons (|ue u soit égale ;i EP prise sur lu

même droite que DE; nous aurons — - = «. Mais, d'après la propriété

spécifique de la |)reniière courbe : b- — a'- = e- ; substituant à a sa

nouvelle valeur — , il viendra b' c- — b- u^ = c* ou, en transposant,

b- e- — e'' =^ b- ir , équation constitutive de la nouvelle courbe HOPN, dérivée de la première, et pour laquelle il est prouvé que la somme 'des bu ordonnés sur b est donnée. Divisant phr b la somme des u ordonnés sur la base, c'est-ii-dire la surface HOPN, sera donnée on reclignes, on aura donc sa quadrature.

Soit, comme second exemple, ba- — a' = e' l'équation constitutive de la première courbe. La somme dos r' ordonnés sur le diamètre b est donnée, donc la somme dos produits HE-.ED ordonnés sur la base.

.Mais HE-.ED est en expression analytique c'a; égalons ce produit à

/ji II b-u, et supposons, comme ci-dessus, EP = m. On aura -^„- =«; si

donc, au lieu de a, on substitue sa valeur — -y et qu'on suive les règles de l'analyse, on aura b'' u' c- — c' ^ b'u\ équation constitutive de

230 ŒUVRRS DE FERMAT. [27/., î75]

la nouvelle courbe HOPN dérivée de la première, et pour laquelle la somme des produits b'-u, ordonnés sur la hase d, est donnée. Divisant par //-', la somme des u ordonnés sur la base d sera donnée, donc la quadrature de la figure HOPN. La méthode est générale et s'étend à tous les cas indétiniment.

Mais il faut remarquer et observer avec soin que, pour les transformations de courbes dont les ordonnées au diamètre décroissent vers la base, les analystes doivent suivre un autre procédé qui diffère du précédent.

Soit {fig. 146) la courbe primitive IVCBTYA, de diamètre AI, d'ordonnées MV, NC, OB, PT, QY. Cette courbe est supposée telle que ses

Fig. i4G.

ordonnées MY du côté de la base décroissent jusqu'il la base, en sorte que MV<NC; que, d'autre part, du cùté de A, la courbe s'infléchisse suivant CBYA, en sorte que CN>BO, BO > PT, PT>QY, etc., en sorte que l'ordonnée niaxima soit CN.

Si, dans ce cas, nous cherchons la transformation des carrés MV-, NC- eu produits sur la hase, nous ne les comparerons plus aux produits IR.RV, comme précédemment. Car le théorème général suppose (jue la somme MV-...-I-NC- est égale ii celle des produits VG.GN. |)uisque CN, l'ordonnée maxima, peut et doit être regardée comme base par rapport à la courbe dont le sommet est I. Il faut donc, dans une courbe dont les ordonnées décroissent vers la base, comparer les carrés MV-...NC- aux produits GV.GN, c'est-ii-dire, pour arriver sur cette figure à une équation analytique : si nous posons MI = RV = a, MV = RI = e et CD = GR = = donnée (cette droite menée parallèle-

[275,277) MÉTHODE DE QUADRVTUr.E. 231

mont au diamctro par rcxtréinitc de l'ordonnée maxima est facile ii trouver par nos méthodes), on aura GV.GN = ::<^' — ae; par suite, la somme des carrés MV-...NG- jus(iu'à l'ordonnée maxima sera comparée à la somme des produits ze — ac, ordonnés sur la base ID. La somme des autres carrés CN-, BO-, PT'- sera comparée à la somme des [)roduits YF.FN, soit en expression analytique ac — zc. Cela établi, on dérivera facilement de la première courbe une nouvelle sur la base; on observera la même règle pour toutes les autres puissances des inconnues.

Pour bien monlrci' (jue notre méthode fournil de nouvelles (juadraturcs, dont aucun des modernes n'a encore jamais rien soup(;onné, soit proposée la courbe précédente, dont l'équation est

lr'<, - />'■

Il a été prouvé que la somme des c' est donnée en rectilignes. I{n les transformant sur la base, on aura, d'après la méthode précédente,

— - =a; substituant la nouvelle valeur de a, et achevant les calculs

suivant les règles, on arrivera ii la nouvelle équation e^ -\- ii' ^= l/ci/. (jui donne une courbe du coté de la base. C'est celle de Schootcn, qui en a donné la construction dans ses Miscellanca, section XXV, page 49^- La figure courbe AKOGDCH de cet auteur sera donc facilement carrable d'après les règles précédentes.

Il y a également lieu de remarquer que, des courbes dont la somme des puissances des ordonnées se trouve donnée, on jx'ut déduire des courbes facilement carrables, non seulement sur la base, mais aussi sur le diamètre. Supposons, par exemple {fig- l'p), l'équation constitutive déjà prise Ir — a- = e'-; non seulement on en dérivera une nouvelle courbe sur la base ayant pour équation h'-e'- — c'' = h'-ir, mais (encore une nouvelle courbe sur le diamètre en égalant la puissance de l'ordonnée e'- à un produit />//. Car la somme des produits bu, ordonnés sur le diami'tre, sera donnée; donc, en divisant par b la somme des a ordonnés sur le diamètre, on aura la (|ua(lrature de la courbe

drrivée de la primitive sur le diamètre, et dont l'équation sera //- — rt- = hu. Il est évident que cotte nouvelle conrhe sur le diamètre est une parabole. Une transformation de cette sorte, non seulement donne des courbes nouvelles dérivées des premières, mais conduit l'acilement des paraboles aux hyperboles et des hyperboles aux paraboles, comme l'essai le fera voir.

Mais, de même que des courbes où est donnée la somme de puissances des ordonnées, l'analyse précédente dérive des courbes où la somme des ordonnées simples est donnée, de même, de courbes où est donnée la somme des ordonnées, on arrive facilement à des courbes où est donnée la somme des puissances des ordonnées.

Soit, comme exemple, la courbe dont l'équation est fre- — c^ = ù'-u-, équation où, comme je l'ai établi, la somme des ti est ibinnée. Si l'on

ne , I , • , - Il I ce

pose II — -j-j et qu on sui)stitue a u sa nouvelle valeur j-, on aura

Ire'-— ('''=^à'c'-, et, en divisant tous les termes par e-, ù'- — c'- =z a'- , ou bien l/- — a'- = c'-. Dans cette nouvelle courbe, qui est un cercle, la somme des e'- sera donnée.

Si de la première courbe où est donnée la somme des ordonnées, on veut en déduire une nouv(dle où soit donnée la somme de leurs cubes, on se servira toujours de la même méthode, mais en prenant des puissances conditionnées des inconnues.

Ainsi, soit proposée la courbe que nous avons plus haut déduite d'une autre et dont l'équation est /r'^«-f?-' — e" = Z»"//', et où il est établi que la somme des u, c'est-à-dire des ordonnées, se trouve donnée.

Pour en déduire une nouvelle courbe où la somme des cubes des

ordonnées soit donnée, on posera u = -^> et on substituera à u sa

nouvelle valeur; en opérant conformément aux règles de l'art, on aura l'équation ha'- — a' = e'\ qui donnera une courbe où la somme des c\ <''est-à-dire des cubes des ordonnées, se trouve donnée.

("ette méthode, non seulement conduit à la connaissance d'une infinité de quadratures jusqu'à présent ignorées des géomètres, mais

1278,279] MÉTIIODK DE QUADRATURE. 233

encore fait découvrir une infinité de courbes dont on obtient les quadratures en supposant celle de courbes plus simples, comme le cercle, riiyperbole, etc.

Par exemple, dans l'équation du cercle b- — a-= e-, on a, données en rectiiignes, les sommes de toutes les puissances des ordonnées dont l'exposant est pair, carrés, bicarrés, bicubes, etc. Quant à la somme des puissances à exposant impair, comme celles des c^, e\ elle n'est donnée en rectiiignes que si l'on suppose la quadrature du cercle. Il est facile de démonlrer ce que je viens de dire et de le réduire en règle, comme corollaire de la méthode qui précède.

11 arrive aussi souvent que, pour trouver la mesure d'une courbe proposée, il faille réitérer l'opération deux fois ou plus souvent encore.

Soit proposée, par exemple, la courbe déterminée par l'équation suivante :

Si la somme des e est donnée, ainsi que la droite b, on aura aussi comme donnée celle des rectangles bc. En inversant la méthode que nous avons exposée au début de cette Dissertation, posons be = o- ,

d'où -r = c. Substituant à e sa nouvelle valeur, il viendra

Nous-avons là une première opération, inverse de celle indiquée an début de la Dissertation, et qui a conduit à une nouvelle courbe où il reste à chercher si la somme des o- est donnée.

Il faut donc reccuirir ii la seconde méthode qui de la somme des carrés des ordonnées conduit à la somme des ordonnées simples.

D'après la méthode précédente exposée en seconde ligne, posons

-^ =: rt et substituons à a la nouvelle valeur que lui assigne cette

o méthode. Il viendra b' — b-o'- ^^ b-ir, et divisant tous les termes

par //-, b^- --(r^=ir, écjuation du cercle. La somme des // est donc donnée, si l'on suppose la quadrature du cercle.

l'F.muT. — m. 3o

Si nous remontons à la première courbe : b^ = a-e-hb-e, il en résulte que l'aire de cette courbe peut être carrée en supposant la quadrature du cercle, et nous sommes facilement et rapidement arrivés à cette conclusion par notre analyse, au moyen de deux courbes différentes de la précédente.

L'utilité de tout ce qui précède sera immédiatement reconnue par un analyste subtil, tant pour l'invention de droites égales ii des courbes, que pour nombre d'autres problèmes qui n'ont pas encore été assez approfondis.

Soient (Jig. i48) AB une parabole primaire, CB son axe, CD l'ordonnée égale à l'axe CB et au paramètre BV. Prenez BP, PL, LG

Fis. ■48.

égales entre elles et ii l'axe CB, et portées sur son prolongement. Menez à CD les parallèles indéfinies BX, PS, LO (qui seront données) et par un point quelconque F de la courbe, menez à l'axe la parallèle FXSOK rencontrant les droites BX, PS, LO aux points X, S, 0.

Faites enfin DR

faites

— J7T — ou 7,7^ = Tvr-- Prenant de même les points D, K, Su au Uiv '

RN , EQ OM . . , • , p II I L-

jT^ = ^.- et 7~ = j^- Imaginez par les points G, H, I, K, . . .

une courbe indéfinie qui aura pour asymptote la droite indéfinie LO. Cette courbe GHIK est celle dont l'espèce est définie par l'équation précédente, b'^ = a'- e -{- b- e . Je dis donc, d'après la réitération indiquée ci-dessus des opérations analytiques, que l'aire KIHGLMNO, qui se prolonge indéfiniment du coté des points K, 0, est égale au double du cercle ayant pour diamètre l'axe BC. C'est ainsi que nous avons immédiatement résolu cette question que nous proposait un savant fféomètre.

[281,282] MÉTHODE DE QUADRATUHE. 235

Par la même mélhode j'ai carré la courbe de Dioclès ou plutôt j'ai ramené sa quadrature à celle du cercle.

Mais le redoublement des opérations est surtout élégant lorsque l'analyse passe des plus hautes puissances des ordonnées aux plus basses, ou au contraire des plus basses aux plus hautes ; cette méthode s'applique en particulier pour trouver la somme des ordonnées dans une courbe quelconque proposée, ainsi qu'à beaucoup d'autres problèmes de quadratures.

Soit proposée, par exemple, la courbe dont l'équation est

et qu'on voit immédiatement être un cercle. On demande la somme des cubes des ordonnées, c'est-à-dire la somme des c^.

Si la somme des e' est donnée, on peut, par les méthodes précédentes, en raison de la nature de la puissance, déduire de cette courbe une autre sur la base, où la somme des ordonnées soit donnée. Soil

posé, d'après la méthode, -,- = a. Substituant à a sa nouvelle valeur, il vient Ire'' — r»" = h'' o'- , équation d'une courbe où, dans l'hypothèse que la somme des e' de la première courbe est donnée, la somme des <> sera donnée.

Puisque, dans cette nouvelle courbe, la somme des o est donnée, on peut en dériver une troisième où Ton cherche la somme des carrés des ordonnées, et non celle des cubes comme dans la première courbe. D'après notre mélhode pour les carrés, nous poserons, comme on l'a

vu, j- — o; d'où b'-c^ — 6" = b-é'u-. Divisant tout par e-, il viendra

Ire- — e' = b- ir , courbe où la somme des c'- doit être donnée. PartanI de cette courbe, cherchons-en une où soit donnée la somme des ordonnées; posons par exemple e'--— //y; la dernière équation deviendra hy — „>'"= "". Si donc, dans la précédente, la somme des c- est donnée, dans celle-ci on aura celle des bv, donc celle desj.

Or dans cette dernière courbe, qui est évidemment un cercle, la somme des j est donnée, en supposant toutefois la quadrature du

230 ŒUVRES DE FERMAT. [282, 28'i]

cercle; donc, en remontant de cette derniiire courbe, où finit notre analyse, à la première, il est clair que dans le cercle la somme des cubes des ordonnées est donnée, si l'on suppose la quadrature du cercle. De même pour les puissances cinquième, septième et les autres de degré impair indéfiniment, comme il est facile de le voir. Seulement le nombre des courbes se multiplie à mesure que s'élève le degré de la puissance dont il s'agit. On passera sans difficulté de l'analyse à la synthèse et au véritable calcul de la figure à carrer.

Au reste, il arrive souvent qu'il faut étrangement promener l'analyse par un très grand nombre de courbes pour arriver a la simple mesure pour une équation de lieu proposée.

Soit par exemple : — —^ — = e-.

Supposons donnée la quadrature de la figure correspondant à cette équation i la somme des a est donc donnée, donc celle des ha, et si

l'on pose ba = o'-, celle des o'- . On aura d'ailleurs a = — , d'où l'équalion z^ = 6'-.

De cette nouvelle courbe, par l'autre méthode que nous avons indi- (|uée si souvent, on en déduira une troisième. La somme des o- étant

donnée, posons ^:r = e, on aura l'équation = = ir.

C'est la troisième courbe où l'on aura la somme des o, et par conséquent des u. Mais si la somme des a est donnée, on aura, d'après la

première méthode, celle des produits bu. Soit bu = j-, d'où j- = u,

nous aurons 1 équation = = y , quatrième courbe ou sera

donnée la somme des j^. Par la méthode ordinaire, déduisons-en une

autre; soit — = o; achevant les calculs suivant les règles de l'analyse,

b''y''i- — />■')'" = i"\ cinquième courbe où sera donnée la somme des y, donc celle des /.

Maintenant, par la méthode contraire, déjii souvent employée, cher-

chons une autre courbe où l'on connaisse la somme des carrés îles

ordonnées; soit y- =y (car à défant de voyelles rien n'empêche de

reprendre celles qui ont déjà été employées), on aura b'^a' — «"= />-/', sixième courbe où la somme des r est donnée.

Ramenons aux racines par la méthode connue et déjà employée |)Iusieurs fois; soit j- = hc; on aura la somme des be donnée, et une septième courbe />-«' — a" = //'(;'-, où la somme des c est donnée, donc celle des a.

De là on en déduira une autre, où la somme des carrés des ordonnées sera donnée.

Posons, d'après la méthode, -j- — e, d'où b'-a'' — a''' = b'^a'-o'-. Divisant tous les termes par a-, il vient b-a'- — a" = b'-o'-, équation d'une huitième courbe où la somme des a- est donnée. Ayant la somme des a-, on peut déduire enfin une autre courbe où l'on ait la somme des ordonnées. Soit a- = bu, on aura bu — u'- = o- , dernière équation qui donne une neuvième courbe, où la somme des u est donnée. Mais cette dernière courbe est évidemment un cercle et la somme des u n'y est donnée qu'en supposant la quadrature du cercle. Donc, en remontant à l'équation de la première courbe, la quadrature en sera donnée si l'on suppose celle de la dernière courbe ou du cercle.

Nous avons ainsi employé neuf courbes différentes pour arriver à la connaissance de la première.