FRAGMENT SUR LA CISSOÏDE

SoiL la cissoïdc EAPS {fig. 149) dans lo demi-cercle LVABE, dont H est le centre, LE le diamètre, HA le rayon perpendiculaire au diamètre; soit LR la. droite perpendiculaire au diamètre et asymptote de la cissoïde.

Fig. 149.

Je dis que l'aire comprise entre EL, la cissoïde EAPS et son asymptote LB prolongées indéfiniment est triple du demi-cercle LAE. Si donc on fait la même construction dans l'autre moitié du cercle, l'ensemble des deux aires, dont E formera le point saillant, sera égal au triple du cercle total.

La démonstration, loin d'être pénible, est assez élégante.

Je prends sur le diamètre deux points I, G quelconques, mais de part et d'autre du centre et à même distance; on aura donc HI = HG, ejl par suite LI = GE. En I et G j'élève des perpendiculaires qui rencontreront la cissoïde aux points P, Y, le cercle aux points V et B. Par ces derniers points, V, B, je mène les rayons HV, HB et les tan-

[286,288] MÉTHODE DE QUADRATURE. 2:5i»

gentcs VM, BD, qui rencontreront le diamètre en M, D. Au delà de 1, je prends une très petite longueur IK arbitraire, et au delà de G. GF = IK; en K et F, j'élève au diamètre les perpendiculaires KN, FG qui rencontreront les tangentes aux points N, G, desquels j'abaisserai sur les droites VI, BG les perpendiculaires NO, GQ.

Cela fait, il est clair que Taire de la cissoïde est égale à la somme de tous les rectangles PI x IK et YG x GF que l'on peut construire de la sorte; ces rectangles ont des bases égales, Kt = GF, et leurs hauteurs sont les ordonnées à angle droit de la cissoïde. Mais, d'après la pro-